Matematika u arhitekturi 1

Na Hramu Sv. Save se mogu uociti sve afine transformacije. Skaliranje je primetno u odnosima kupola (istog su oblika ali razlicitih dimenzija), kupolarni prozori su rasporedjeni translatorno, a refleksija je uocljiva jer su leva i desna strana Hrama istovetne.

Stadion Crvene Zvezde. Mogu se uociti sve afine transformacije. Refleksija - u osnovi je simetrican jer je elipsastog oblika, rotacija oko svoje ose, skaliranje – tribine koje se ponavljaju a istovremeno se i smjenjuju sto je i translacija.

Francuska ambasada:

kod ograde je uočljivo skaliranje. Zgrada je simetrična,što ukazuje na refleksiju. Kod središnjeg dela se primećuje rotacija,a kod bočnih delova zgrade i prozora translacija.

Na objektu palata Zora arh S. Krunica mogu da se uoce afine transformacije. Jasno je uocljivo skaliranje dela objekta sa leve strane, zatim rotacija na nadstresnici na samom ulazu kao i frontalnog dela fasade, zatim  translacija ukrasnih elemenata na fasadi (stubovi na poslednjem  spratu  na levoj i desnoj strani) i refleksija na frontalnom zastakljenom delu fasade. Slika je mnogo sitna pa nisam sigurna da se sve ovo jasno vidi kao uzivo kad se posmatra

Ako zanemarimo boju pravougaonih oblika na fasadi imamo refleksiju u odnosu na vertikalu,kao I translaciju na gore,a ako obratimo paznju na boju elemenata,onda imamo I translaciju po razlicitim vekrotima. :)

Ovo je kuca mog "komsije" u Bulevaru JNA.
Motivi koji se ponavljaju na ovom objektu imaju slicnu materijalizaciju i dimenziju.

1. Ograda na terasama u kojoj se javljaju translacija i skaliranje. Isti je slucaj I sa garaznim vratima.
2. Motiv opsivke krova koji se ponavlja na celom objektu. Tu se moze uociti rotacija.
3. Jos jedan motiv su i bele ploce terasa kao horizontalni detalj, i stubovi kao vertikalni skalirani detalji. Naravno, svuda se javlja translacija.
   
   Slika nije mnogo jasna, zato sto je slabe rezolucije ali mogu poslati vecu ako to bude problem.
   Pozdrav

Kliničko bolnički centar VMA

Arhitekta Ivan Antić je i na ovom poznatom objektu dao više primera afinih transformacija: kao što su refleksija koja se ogleda u simetriji krila zgrade i uopšte simetriji objekta, translacija se primećuje u ponavljanju spratova, stubova i prozora. Primer skaliranja jesu prizemni delovi u obliku kvadrata i pravougaonika. A rotacija se uočava u krilima koja su formirana oko jezgra zgrade. 

 oooo, Gospode! Gde god se okrenes vidis afinu transformaciju... a obzirom na to da je banovo brdo, preko kojeg 23 obicno gnjavi, prepuno jako interesantnih primera evo jednog sa translacijom, ja bih pre rekla da je vidna na polozaju ovih stambenih zgrada, a zatim i jedan primer skaliranja na jos jednom 'komadu arhitekture' Banovog brda...  nadam se da nisam promasila...

Ovo je objekat koji se nalazi na Zvezdari, na uglu ulica Gospodara Vucica i Bulevara kralja Aleksandra. Na objektu su prisutne sve na casu pomenute translacije, sto se najbolje vidi u predelu prozora (npr. u prizemnom delu zgrade, gde je faktor skaliranja u pravcu x ose veci, i na kruznim delovima gde je obrnuto), a i na fasadi, gde su ploce razlicitih dimenzija, dok se primecuje i simetrija, koja dokazuje i prisutnost refleksije na objektu...

Narodni muzej, jos jedan primer afinih transformacija... Moze se uociti translacija - prozori koji su rasporedjeni jedan pored drugog, zatim skaliranje - kupola u sredini i kupole sa strana su istog oblika, a razlicitih dimenzija... Refleksija - sve strane su iste...

1. Скалирање - сва прозоска окна су скалирана у односу на оне, условно речено, доле, онда извршено је и скалирање стубиша на терасама...
   
2. Транслација - транслација се огледа у симетрији зграде, тј. у односу на крајњу ивицу извршена је транслација тераса, прозора, рељефа, клима уређаја (који нису симетрично постављени)
3. Рефлексија - она је присутна првенствено у рељефу на фасади, и
4. Ротација - њу примећујемо при самом врху зграде, где су терасе, прозори, итд. представљају комбинацију ротације и транслације
   

Svaki primer koji mi je pao na pamet je vec spomenut, tako da sam uzela internacionalni primer - Koloseum (ako nije problem?ako jeste, smislicu nesto nase ;-) ). Uocila sam translaciju i rotaciju.

Zgrada TANJUG-a na Obilicevom vencu. Mogu se uočiti primeri afinih transformacija, kao što je translacija (prozori i vertikalni detalji na fasadi). U ovom slučaju možemo primetiti i refleksiju, zato što je posmatrana strana zgrade osno simetrična.

Kao jedan od najprepoznatljivijih simbola Beograda, Avalski toranj, ima sve vrste afinih transformacija. Jedno od skaliranja imamo u osnovi antene koja se ka vrhu suzava, a na svakih nekoliko metara ponavlja se njena osnova samo umanjena. Translaciju uocavamo na prozorima koji se ponavljaju, dok rotaciju mozemo videti na nosecim stubovima tornja koji rotiraju oko njega. Na kraju za zgradu mozemo reci da ima refleksiju (simetricna je), tj. ista je iz bilo kog pravca posmatranja.

Afine transformacije su svuda oko nas, ali evo jednog primera starih gradjevina: Na slici dela Kalemegdanske tvrdjave primecujemo refleksiju elemenata leve i desne strane, rotaciju supljina i ornamenata pri vrhu kula, kao i njihovu translaciju iznad kapije... Gledano iz ove perspektive uocavamo i skaliranje elemenata ograde kao posledicu udaljavanja od posmatraca... :) Ovo je naravno samo jedan od beskonacno primera iz nase okoline!

Rimokatolička crkva sv. Antona na Vračaru, delo slovenačkog arhitekte Jožefa Plečnika. Na njoj uočavammo nekoliko afinih transformacija. Prozori na kupoli vrše rotaciju oko njene ose, dok prozori na tornju vrše translaciju. Na delovima krova kupole nalaze se tri koncentrična kruga koji se skalarno smanjuju.

Crkva sv. Vasilija Ostroškog na Bežanijskoj kosi delo je arhitekte Mihajla Mirovića. Prva je na teritoriji Novog Beograda podignuta posle Drugog svetskog rata. Uočavaju se sve afine transformacije. Primećujemo simetriju sa leve i desne strane što je primer refleksije. Lukovi iznad ulaza su translirani i skalirani. Prozori vrše rotaciju oko ose kupole ali takođe i translaciju.

Moju pažnju su privukli odžaci novobeogradske toplane.

Uocljive su translacije i skaliranje u odnosu velikih i malih dimnjaka.

Beograd uopšte ne poznajem pa se nadam da će ovo biti dovoljno

crkva Svetog Marka- translacije kod stubova od kojih ovde vidimo samo kapitele; lukovi iznad- kombinacija rotacija i translacija; ponovo translacije kod ćoškova kocki iznad; iznad toga, u centralnom delu translacije monofora sa skaliranjem; njih okružuje luk od četvrtastih rotacijom i translacijom ponavljanih ploča; a onda opet ćoškovi kamenih kocki, ali sada sa translacijom i rotacijom...

Na ovom cuvenom, umetnickom, monumentalnom zdanju, poznatijem kao ukras u mom liftu, mogu se primetiti cak 3 afilne transformacije:

Skaliranje: Ako posmatrate 4 kvadrata kao jedan veliki, skaliranjem se moze dobiti pravougaonik od 2 kvadrata.

Translacija: Zamislimo da crne trke formiraju koordinatni sistem. Onda je svaki sledeci kvadrat transliran za sitinu trake koja ga deli od prethodnog.

Refleksija: Slicno kao kod translacije, s tim sto se sada kvadrati reflektuju u odnosu na x i y osu.

:)

Primer za afime transformacije je i Genex kula.Uocavamo rotaciju duz y-ose,skaliranje duz x-ose i translaciju duz y-ose.

Toranj na krovu hotela Mr. President koji se nalazi preko puta glavne autobuske stanice u Beogradu. Ovo je dobar primer gde možemo videti skaliranje pravougaonih delova, rotacije i translacije pravouglih trouglova.

Na fasadi ove zgrade uocavam translaciju, refleksiju, kao i skaliranje.

Samo  ne znam koliko se jasno na ovoj slicici vidi...

U hali 1 Beogradskog sajma mogu se jasno uočiti afine transformacije...:-) Objekat je kružnog oblika, u osnovi  je simetričan, što ukazuje na refleksiju kroz središnju osu.Prozori i stubovi se ponavljaju ,a istovremeno i smenjuju po horizontalnoj kružnici vršeći ujedno i rotaciju i translaciju...prisutno je i skaliranje(promena dimenzija)...

Ovo je skulptura koju sam slikao na uscu ,pored 25og maja ,nemam pojma sta predstavlja ali mislim da odgovara temi .Vidi se skaliranje , rotacija ,refleksija i translacija ...

Na slici je kupola trznoc centra Delta City.Pogodna je prvo jer se moze posmatrati an dva nacina kroz afine artnsformacije,ali nakjrace receno- koncentricni metalni obruci kupole olicavaju skaliranje,metalne sipke koje nose kupolicu su rotirani oko enpokretne tacke za neki ugao,a osvetljenja oko kupole na slici su translirana ali i rotirana jer se krunzo krecu,a simetricne su u odonsu na kupolu u cjiem cetru mozemo zaimsliti kordinatni pocekat,pa je ocigledna refleksija u odnoan us obe ose,tj ogleda se kroz simetriju.

Na zgradi Trece beogradske gimnzije u Njegoshevoj ulici takodje se mogu uochiti afine transformacije... prozori i stubovi se ponavljaju shto predstavlja translaciju,a zamishljena osa je deli na dva simetrichna dela shto je refleksija... :)

na ovoj slici translacija, refleksija i skaliranje se prozimaju kroz fasadu ove zgrade.

Afine transformacije...

Prisutan je veliki broj skaliranja tipa "stretch" i "scale" kao i refleksija i translacija. Ovo je zpadna kapija Beograda.

Primer afinih transformacija na ovom objektu se vidi sa desne strane na vecim prozorima na kojima se uocava refleksija i rotacija, dok se na bokovima objekta vidi skaliranje fasade. Na prozorima koji se nalaze na vrhu uocava se rotacija...

Ja se nadam da mogu izneti primer koji je vec prikazan, ne iz razloga sto je nestalo afinih transformacija u Beograd, vec zato sto mi je tek danas uveden adsl u stan, a imao sam pripremljeno par dana. Ukoliko nije moguce, pronaci cu drugi primer.

Pogodan objekat za prikazivanje fraktala i afinih transformacija u arhitekturi je zgrada ministarstva odbrane, poznatija kao novi generalstab.
Arhitekta ovog zdanja je Nikola Dobrovic, profesor Arhitektonskog fakulteta. Gradjeno je od 1954. do 1963. i bilo je simbol nove jugoslovenske drzave. Mozda ce se nekima uciniti zanimljivo da delovi koji su poplocani crvenim kamenom simbolizuju kanjon Sutjeske u kojem se dogodila istorijska bitka. Kompleks je 1999. godine tesko ostecen u NATO bombardovanju Jugoslavije, a 2005. dobio je status spomenika kulture, tako da ce prilikom obnove fasada biti vracena u prvobitno stanje.
Na kompleksu se mogu uociti refleksija, skaliranje i translacija i kombinacije tih funkcija.
Refleksija: kompleks generalstaba sastoji se iz dve celine koje su simetricno preslikane u odnosu na sredinu Nemanjine ulice.
Skaliranje: oba bloka su sastavljena iz dva segmenta, jednog poplocanog belim mermerom (nisam siguran da li je stvarno mermer) i drugog poplocanog crvenim kamenom. Ako te segmente posmatramo odvojeno, primeticemo da je i na jednom i na drugom prisutno skaliranje, i to tako sto se deo sprata poplocan belim materijalom smanjuje, a deo sa crvenim povecava.
Translacija\skaliranje: pomeranje i smanjivanje trakastih prozora duz zgrade.

Ovo je detalj jedne resetkaste kapije na Vracaru. Nazalost, format fotografije od 130px x 130px nije bas najbolji za prikazivanje sirokih objekata, tako da se dobar deo resetke ne vidi, zarad jasnoce zicanih struktura.

Afine transformacije nije tesko uociti, i, koliko se meni cini, sve su prisutne. Spirale su orjentisane na razlicite nacine, razlicitih velicina (zapravo duzina, jer mala spirala nije skalirana velika, vec samo skalirani deo velike spirale) i razlicito su pozicionirane u odnosu na metalni okvir kapije.

..na ovoj fotografiji mozemo uociti skaliranje polukruznica(mali i veliki),translaciju citave konstrukcije(veliki polukrug-pozadi se vidi identican sklop),refleksija-polovine polukruga su totatlno simetricne-identicne...sada me samo zanima jedna stvar: da li je pomeranje ovih 'iskrivljenih' trapeza duz polukruznice translacija ili pak rotacija ako zanemarimo polukruznicu?

p.s.namerno ne stavih neku zgradu previse nepotrebnih detalja koji odvlace paznju.

p.p.s.nesto ozbiljno nije u redu sa site-om,ulogujem se iz 15puta.

pozdrav.

Na zgradi u blizini Pancevackog mosta mozemo uociti neke afine transformacije... Prisutno je skaliranje u sredisnjem delu ove zgrade, vertikalna osa deli zgradu na dva simetricna dela sto predstavlja refleksiju, i rotacija je uocljiva... :)))

Zgrada koju sam odabrao nalazi se u novobeogradskom bloku 29A.

Našao sam nešto šturih podataka da je glavni projektant Energoprojekt URBANIZAM I ARHITEKTURA a.d.

Skaliranje: vidljivo na prozorima različitih veličina, pogotovo onih na unutrašnjim terasama i trodelnim. Takođe skalirane podele zidova belim trakama.

Refleksija: ovde izuzetno vidljiva. Dve zelene trake naglašavaju opštu osu simetrije koja je istodobno i osa refleksije. U odnosu na nju, sve se reflektuje: terase, stubovi, prozori, ograde (pa čak i klima uređaji iako to nije bila izvorna ideja arhitekte).

Rotacija: budući da je fasada polukružna, svi delovi rotiraju na neki način, međutim rotacija je najvidljivija na prozorima poslednjeg sprata, zatim na prvom, trećem i petom spratu gde nema terasa.

Translacija: veoma prisutna na celoj površini fasade. Ponavlja se prozor do prozora, dva stuba se mogu posmatrati kao međusobne translacije jedan drugog, ukrasni detalji na krovu, slivnici za vodu, čak i cevi koje čine ogradu se slažu po translaciji iako se to zbog slabe rezolucije ne može videti.

Ja sam kao primer izabrao Genex apartmane koji se nalaze kraj hotela ,,Interkontinental'' iz tog razloga sto se kod njih jasno uocavaju sve geometrijske transformacije i oblici.Ako uzmemo na primer refleksiju ili skaliranje,oni se jasno uocavaju na sivim vertikalnim stubovima kao i na svim staklenim delovima zgrade.Ako sada svoju paznju posvetimo terasastim strukturama,vidimo da se izdvajaju cak tri geometrijske transformacije:skaliranje,translacija kao i rotacija po horizontalnoj osi...

Na ovoj zgradi koja se nalazi u blizini Pancevackog mosta, mozemo uociti neke afine transformacije... Moze se uociti skaliranje u dredisnjem delu zgrade, rotacija je uocljiva i refleksija ukoliko podelimo zgradu sa zamisljenom verikalnom osom uocicemo dva simetricna dela!

Muzej savremene umetnosti u Beogradu...translacije kvadrata i rotacije trouglova na krovu...ako se uzmu u obzir i prozori kvadratnog oblika ima i skaliranja sto se na ovoj slici inace ne vidi...

afine transformaciej na ulazu jedne zgrade u centru grada.
vide se skaliranje, rotacija, refleksija i translacija
rucke na vratima: jedna metalna sipka se rotira, a zatim se njih dve u paru skaliraju i opet rotiraju tako da se ukrstaju sa prvim parom, zatim se vidi refleksija zbog rucki na drugom krilu vrata.
staklo: veliki prozor iznad vrata se skalira, rotira i translira tako da nastaju 2 manja stakla na oba krila vrata, zatim se ta dva stakla ponovo skaliraju i transliraju te nastaju 2 manja stakla ispod njih

Ovo je zgrada kod bogoslovije. Cela zgrada se sastoji od identicnih kubusa kji su zarotirani i naizmenicno postavljeni, sto predastavlja dobar primer rotacije.

Elementi fasade koji se ponavljaju. Vidimo translaciju i skaliranje...

Proyori na ATŠ-u. Vidljiva je translacija,skaliranje pojedinih delova prozora i refleksija.

Žao mi je što je nemoguce fotografisati ceo primer, ali se ipak mogu uočiti afine transormacije i to u vidu skaliranja i rotacije segmenata kruga, translacije otvora koji se ponavljaju i refleksije gde uocavamo simetriju i po x i po y osi.

KOD CRKVE SVETOG DIMITRIJA UOCAVAMO TRANSLACIJU I ROTACIJU DELOVA CRKVE U COSKOVIMA, POSTOJI SKALIRANJE CENTRALNOG PROZORA IZNAD VRATA KAO I TRANSLACIJA; SVI DEOVI CRKVE,KAO I SAMA CRKVA SU SIMETRICNI - REFLEKSIJA... NADAM SE DA SAM UKAPIRALA... :(

Afine trnsormacije su uočljive na stepenicama koje su medjusobno sve manje i manje (skaliranje, translacija), rotacija oko poprečnih šipki i refleksija se javlja duz ose koja celo stepeniste deli na dva jednaka dela.

na skulpturi(na 25.maju) mozemo uociti sve vrste transformacija

Ovo su merdevine iz naseg prelepog anfiteatra.Tu su takodje jasno prikazane afine transformacije,tacnije skaliranje...lestvica naravno !

Isto u Beogradu... translacija i skaliranje kod krugova, i rotacija...

Na fasadi hotela Moskva uocljivi su primeri afinih transformacija.

Ovaj primer je vec neko pokazao,ali isto je i sa ostalima koje sam pripremio... Vidi se translacija,rotacija,ako uzmemo u obzir 3. dimenziju, i cini mi se, skaliranje. 

Primer afine transformacije rotacije i translacije.

Afine transformacije su vrlo uocljive na primeru ove nadstresnice, periodicno se ponavljaju istovetni detalji, i sve je ukljuceno: translacija, rotacija...

Na spomeniku na Trgu Republike uocavamo sve 3 afine trasformacije..

Primer : Panchevacki most.

Translacija i translacija trougaonih chelichnih konstrukcija.

Ovo je primer vrta ispred hotela 'Hyata'.. Ispred glavnog ulaza vide se fontane pravougaonog oblika na kojima se jasnovidi primer translacije, rotacije i refleksije...