Matematika u arhitekturi

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika savija se na pola po horizontalnoj osi, zaseca se s leve i desne strane po sredini savijene ivice, na jednakom rastojanju od bočnih ivica. Zasečene delove presaviti po horizontali i ponoviti postupak onoliko puta koliko je to moguće.

Multiplikacijom ovako dobijenog modula dobija se sledeća prostorna kompozicija: 

*Naglašavam da nisam prisustvovao času izrade fraktala,ponovac sam.

Prikazani fraktal nastaje savijanjem papira pravougaonog oblika po vertikalnoj osi,na pola. Po sredini papir zasecati na podjednakim razmacima skalpelom, tako da svaki usek bude malo veći od predhodnog i da formira oblik trougla. Na posledku svaki drugi isečak izbaciti napred,a ostale pozadi.

Prikazani fraktal dobijen je presavijanjem pravougaonog papira na pola, po horizontalnoj osi. Te zasečen po sredini četiri puta (pet jednakih delova). Obe polovine presaviti na po pola te svaku zaseći šest puta (sedam jednakih delova). Svaku od tri dobijene celine razviti, a svaki drugi deo izvući na gore/dole.

Prikazani fraktal je dobijen sledećim algoritmom:

papir veličine A3 papira je savijen na pola po horizontalnoj osi i zasečen 2/3 u odnosu na tu polovinu. Ovakvo sečenje se ponavljalo 10 puta na jednakom rastojanju. Svaki taj deo je ponovo zasečen još po 3 puta na jednakom rastojanju i dubine 1/2 u odnosu na prethodni. Na kraju se ti delovi naizmenično izbacuju napred ili nazad. 

- Zasece se do 2/3 na sestini savijene ivice sa oba kraja

- Dva zasecena dela se presaviju

prikazani fractal sam dobio na sledeci nacin

uzeo sam papir a3 formata I savio ga na pola sa manje strane (da se poklope stranice od 297mm)

od kracih ivica tako savijenog papira sam odmerio po 6 cm I povukao paralelne linije duzine 8cm na rastojanju od po 1 cm, papir sam zasekao po tako dobijenim linijama a svaki drugi papiric sam odsekao. papir sam otvorio (rasirio) I dobio fraktal

Priloženi fraktal dobija se savijanjem papira pravougaonog oblika po vertikali, a zatim zasecanjem do pola širine po vertikali tako savijenog papira, tako da mesta zasecanja budu na jednakim rastojanjima. Postupak ponoviti najmanje 2 puta. Po završetku ispraviti papir i svaki drugi isečak izbacivati ka spolja, a ostale ka unutra.

 Prikazani model nastaje sledećim algoritmom:

Papir kvadratnog oblika(moj primjer 10x10), saviti na pola, otklopiti i onda polovine opet na pola. Isto uraditi i sa druge strane. Ovako otklopljeni papir je linijiski je podijeljen na 12 modula. Sledeći korak, saviti prema centru tako da se tobiju tri trougla, zatim ga opet otvoriti. Središta naspramnih stranica preklopiti po dobijenim linijama ka centu, isto uraditi sa druge dvije s tim da vrhove treba preklopiti u mali kvadrat. Opet ivice novodobijenog kvadrata saviti prema  centru, ostavljajuci duple krajeve. Opet se dobija manji kvadrat, koji preklapamo prvo po jednoj pa po drugoj dijagonali. Prema dobijenim linijama pritisnuti sredine stranice ka unutra da se dobije zvijezdasti oblik. Ovim procesom je godov jedan modul prikazanog modela, koji je potrebno multiaplicirati još 11 puta, tako da ih je ukupno 12(1+12). medjusobno ih spojiti, uvlačeći tanje strane različitih modula.

Fotografije konačnog modela se nalaze u prilogu.

Ovaj fraktal sam dobila savijanjem papira dimenzije 21x42cm na tri dela. Saviti 2/3 i zasecati po rubu do polovine te visine da bi se dobila forma pravouglog trougla. Postupak ponoviti sa drugom trećinom ali zasecati sa druge strane. Raklopiti papir i zasecane forme podeliti i izvlačiti na suprotnu stranu  da bi se dobio oblik četvorostrane piramide. Postupak ponoviti i sa druge strane. 

Prikazani fraktal dobila sam tako što sam presavila papir A4 na pola, zatim sam od sredine delila papir na jednake delove ka levoj i desnoj strani po 0.5mm, po principu od manjeg ka većem. Na kraju svaki isečak izbaciti napred.

Prikazani fraktal je dobijen savijanjem papira pravougaonog oblika po horizontali i potom zasecanjem njega tako savijenog u odredjenoj udaljenosti od ivica, papir se zatim otvori i dobijeni deo se savije ka unutra, tako se pravi prostor za novo zasecanje ( koje ce biti “manje” od pethodnog). Postpak se zatim ponavlja.

Prikazani modul "Paper folding fractal garage" nastao je sledećim algoritmom: A4 hamer presavije se na pola po dužoj ivici. Zatim se tako presavijen papir zaseče dužinom ose savijanja na 8 jednakih delova. Nakon toga, bivaju zasečeni svaki drugi od malopre pomenutih 8 jednakih delova na 3 jednaka dela da bi se njihovim savijanjem i izvlačenjem dobio pomenuti modul.

-papir formata A4 presaviti na pola i posmatrati papir na taj način, bez ponovnog otvaranja.

-od dužih(spojenih) stranica odmeriti po 7cm i makazama zaseći tu dužinu sa rastojanjem od kraćih stranica od po 1.5cm.

-možemo zaključiti da kada presavijemo zasečeni "pravougaonik" on dopire direktno do naspramnih dužih stranica nespojenih delova papira. 

-na ovaj način ponavljati postupak koliko puta je moguće, uvek sa odstojanjima od kraće stranice(sada već zasečenog pravougaonika a ne ivice papira) od po 1.5cm, a od duže u zavisnosti od udaljenja duže naspramne.

-raširiti papir i podesiti prikazani stepenisni 3D izgled.

-moguće je radi boljeg efekta zalepiti sa druge strane crni hamer duž celog A4 papira (nakon izrade modula, tako da crni hamer predstavlja dopunu šupljinama "stepenišnog modula".

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika saviti na pola po horizontalnoj osi, zatim zasecati linije razlicitih duzina, ali tako da razmak izmedju njih bude jednak. Nakon toga savijamo papir na krajevima zasecenih linija i njega zalepimo na drugi papir koji je istih dimenzija kao i prvi i takodje je savijen po horizontalnoj osi, na pola.

Algoritam za dobijanje fraktala sa slike:

Papir formata A4 saviti na 1/2. Sa jedne strane na svaki 1cm zaseći do 1/2. Tako isečen papir saviti na 1/2. Zatim, zasecati do pola ponovo na svaki 1cm,. Ponoviti n puta. Otvoriti papir i izvaditi zasečene delove.

Prikazani model se dobija na sledeći način:

Papir veličine A3 (može i A4) presaviti na pola po širini. Na mestu prekopa obeležiti u sredini 2 cm, napraviti pravugaonik veličine 1x2 cm. Nakon toga sa obe strane dodati 1 cm, stvarajući još jedan pravugaonik. Postupak ponoviti po želji. Potom zaseći papir po visini dobijenih pravugaonika i saviti po horizontalnoj osi. Zatim raširiti papir i rasporediti isečke.

Prikazani model se dobija na sledeci nacin:

Papir a4 formata presaviti tako da se dobiju dva simetricna trugla. Ostatak isjeci. Dobija se papir dimenzija priblizno 30 X 15 cm. Okrenuti na nalicje i presaviti na cetiri horizontalna, jednaka dijela. Dobijene dijelov opet presaviti na pola. Zatim papir okrenuti vertikalno i presaviti opet na cetiri dijela,pa i cetvrtine podijeliti na dva dijela. Dijelove presavijati jos nekoliko puta po zelji.Papir okrenuti horizontalno i presaviti dobijene podjene na trecine. Postupak ponoviti i kada papir vratite u vertikalni polozaj.Svaku podjelu na trecine blago izvuci. Zadnju desnu i lijevu trecinu ispraviti, zalijepiti i prikaciti jednu za drugu tako da prave predstavljenu formu.

Papirni fraktal:
Uzeti papir dimenzija 10x10 .Presaviti dijagonalno ivice,a zatim iseci deo koji je slobodan,tj odvojen.Sledeci korak je otvoriti sam papir.Isecene delove papira spojiti njima suprotnim.Tako do samog kraja.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: papir kvadratnog oblika saviti na pola, zasecati na trećinama savijene ivice do pola. 1/3 i 3/3 presaviti (2/3 više ne obrađujemo), savijene delove zaseći na trećinama do pola, njihove 2/3 saviti, zatim tu trećinu zaseći na trećinama do pola i 2/3 saviti.

 Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir veličine A3 (moguća izrada i od A4 papira) presaviti na pola po horizontalnoj osi. Zatim lenjirom odmeriti tj podeliti dužu stranicu na četvrtine, a kraću na pola. Kada se to uradi zaseći papir od prve linije četvrtine papira pa sve do polovine širine papira, to isto uraditi i od poslednje linje četvrtine papira sve do polovine širine papira. U sredini nam ostaje dužina dve četvrine papira, nju ne sečemo, već je povlačimo i savijamo ka suprotnoj ivici papira, zatim je povlačimo i sa druge strane papira i takođe savijamo ka suprotnoj ivici.(Bitno je tačno presaviti papir, zbog kasnijih koraka) Nakon toga raširimo papir do početne veličine. Tu postoji prorez nastao ranijim isecanjem makazama, njega uhvatimo i presavijemo ga na drugu stranu, zatim povlačimo tako da njegova gornja stranica bude paralelna sa ivicom papira i onda pritisnemo odozgo da bi formirali ivice. Kada je papir ovako savijen, treba da se dobije pravougaoni oblik papira kome nedostaje manji pravougaonik dole na sredini (ranije ostavljene dve četvrtine duže stranice presavijenog papira). Ovo ponavljamo nekoliko puta tako što sada merimo četvrtine gornje stranice pravougaonika, njih zasecamo do polovine ostatka širine stranice itd. Kada smo ovo ponovili 2 ili 3 puta (u zavisnosti od veličine papira), papir razvijamo na početnu veličinu i tada formiramo ivice zasečenih delova tako da grade stepenice.

Postupak:

Papir A3 formata presaviti na pola. Zaseći kvadrat na sredini presavijene horizontale, a zatim zaseći kvadrat sa duplo manjom stranicom na prethodnom kvadratu.To ponoviti još jednom na drugom, manjem dobijenom kvadratu. Postupak ponoviti još dva puta sa manjim dimenzijama.

Fotografije fraktala:

Postupak: 

Papir A3 formata presaviti na pola po dužoj stranici. Kraću stranicu(21cm) podeliti na pola, a zatim presavijenu horizontalu podeliti na polovinu koju treba još jednom podeliti na pola, pa novodobijenu još jednom na pola. Isto tako uraditi sa drugom polovinom. Papir zaseći, otvoriti formu i potrebne delove izvući ka napred. Ovaj postupak ponoviti još dva puta samo sa duplo manjim dimenzijama. 

Fotografije fraktala:

Prikazani fractal sam dobio na sledeći način

Uzeo sam papir A4 formata I savio ga na pola sa manje strane (da se poklope stranice od 210mm)

Od kracih ivica tako savijenog papira sam odmerio po 2 cm I povukao paralelne linije duzine 11cm na rastojanju od po 2 cm, osim središnje koja je na rastojanju od 1.5cm, papir sam zasekao po tako dobijenim linijama a svaki drugi papiric sam ponovo presavio na udaljenosti od 5cm od kraja presečenih delova. Papir sam otvorio (rasirio) tako da sam svaki drugi zasečeni deo do pola ostavio ubačen i središnji deo fraktala.

1) Iz A4 formata iseći kvadrat

2) Kvadrat se savija po dijagonali

3) Na polovini hipotenuze iseći krivu koja "prati" visinu pravouglog trougla

4) Papir se savija tako da vrh jedne od polovina mora dodirivati vrh prethodnog trougla

Proces se ponavlja onoliko puta koliko materijal to dozvoljava.

Opažanje: Nastali model fraktala može poslužiti kao apstraktna maketa Obi-Vanovog lovca iz drugog dela Ratova zvezda 

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: 

Papir 21x29,7cm presaviti na pola i na 0,5cm seci papir vertikalno tako da svaki sledeci rez od sredine bude kraci za 0,5 cm. Otvoriti papir koji je prethodno savijen.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: 

Papir kvadratnog oblika saviti na pola po horizontalnoj i po vertikalnoj osi. Nakon toga saviti i po obe dijagonale. Zaseći ivice preseka horizontalne i vertikalne ose do pola. Od delova koji smo zasekli savijamo do dijagonalnih linija i dobijamo trouglove. Nakon završetka ovog postupka sa svim stranama, okrećemo modul i dobijamo "zvezdu" sa slike. 

Prikazani model fraktala je nastao savijanjem na pola papira pravougaonog oblika po vertikalnoj osi. Od kracih ivica presavijenog papira sam odvojila po 2,5cm i krenula paralelno da vucem linije koje su bile na medjusobno jednakim rastojanjima od po 1cm. Najduza linija je bila dugacka 12cm pa se smanjuje za po 1cm do duzine od 5cm. Tako isecen papir sam otvorila i dobila oblik sa slika. 

Dobijeni fraktal nastaje na sledeći način: Papir pravougaonog oblika saviti na pola, dobijenu ivicu presjeći makazama po sredini dva puta, za pola dužine, zatim postupak ponoviti na dva manja kvadrata, dakle saviti ih i presjeći do pola sredinom. 

Prikazani fraktal nastaje savijanjem A3 papira po horiznotalnoj osi na pola. Od ivica papira duze stranice odmerena je jedna cetvrtina (7,5 cm), isecene su linije do polovine krace stranice (10,5cm) i dobijen ne pravougaonik koji je zatim savijen u unutrasnju stranu papira. Postupak je ponovljen jos 2 puta i na taj nacin je dobijen ovaj fraktal. 

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu: papir pravougaonog oblika savija se po kracoj vertikalnoj sredisnjoj osi, a potom se zaseca na trake razlicitih duzina. Trake se savijaju naizmenicno unutra i spolja i tako nastaje fraktal koji pri otvaranju papira na 120 stepeni izgleda ovako:

Multiplikacijom tri ova fraktala rotacijom oko vertikalne ose nastaje naredna kompozicija

Prikazani fraktal se dobija sledecim postupkom:

1. Uzeti papir kvadratnog oblika (ja sam koristila 18x18)

2. Presaviti ga na pola

3. Na tako savijenom papiru zaseći trouglove, od većih ka sve manjim trouglovima

4. Svaki drugi trougao izbaciti ka spolja,ostale ostaviti savijene ka unutra

*Ana Marković sa brojem indeksa 12018/2019

Uzeo sam parče papira kvadratnog oblika i presavio sam ga dva puta tako da dobijem jedan manji kvadrat. Taj manji kvadrat sam još jednom savio tako da dobijem jednakokraki trougao. I onda sam sekao oblike na jednom od dva oštra ugla tog trugla. To sam rasklopio i dobio moju formu.

Fraktal se dobija savijanjem papira A4 formata na pola, zatim savijanjem jedne polovine opet na pola a druge na 4 jednake celine. prvu polovinu sam zasecao na 7 jednakih delova do pola pod 90 stepeni, drugu sam poselednju cetvrtinu savio jos jedanput na pola. 

 Prikazani model fraktala je nastao savijanjem papira pravougaonog oblika na pola po vertikalnoj osi. Od kraćih ivica presavijenog papira sam odvojila po 2,5cm i krenula paralelno da vučem linije koje su bile na medjusobno jednakim rastojanjima od po 1cm. Najduza linija je bila dugačka 12cm pa se smanjuje za po 1cm do dužine od 5cm. Tako isečen papir sam otvorila i dobila oblik sa slika. 

(ovde se slike vide lepše, poruku od sinoć više ne mogu da obrišem zato postoje moje dve)

Папир А3 формата савити на три једнака дијела. Средњи дио измјерити уздуж 3, 4, 5 и једна од 6 цантиметара. Засјећи сваки од дијелова и пресавити ивице, затим зарезати сваки. Трећи и четврти засјечени дио зарезати по 1 центиметар. Други пресавити по половини и зарезати

Papir dimenzija 21x29.7 (A4) presavijen je na pola. Zatim su se od sredine papira na svakih 0.5 cm zasečene štrafte, tako da je svaka za 0.5cm duža od prethodne (najduza je 6cm, dok je najkraca 2cm) 

Predstavljeni fraktal je izveden na sledeći način:

List pravougaonog papira (A4 format) savijen na pola po duzoj ivici, zatim zasecen sa leve i desne strane do polovine papira na 2cm od obe ivice. Postupak ponovljen tri puta. 

Papir dimenzija 21cmx29.7cm (A4) presavijen je na pola. Na udaljenosti 2cm od ivica i sa jedne i sa druge strane na osi savijanja su zasecena po 4 duzine od 7cm da bismo dobili po dva ''izbacena'' dela sa obe strane. Izmedju toga je zasecen pravougaonik visine 4 cm i sirine 9cm, zatim na njegovoj gornjoj ivici jos jedan visine 2.5cm i sirine 4cm, a na njemu jos jedan visine 1cm i sirine 2.5cm i time je dobijena stepenasta formacija.

Papir A4 sam presavila na pola i sa obe strane sam zasekla po jednu cetvrtinu papira do 1.5 do kraja papira, Na ostatku u sredini(dve cetvrtine), sam ponovila isti postupak, i tako jos jednom. Onda se papir rasiri i dobije fraktal na slici.

Prikazani fraktal nastaje po sledećem algoritmu:

1. Papir veličine 29,7x21cm presaviti na pola

2. Zaseći polovinu papira do njegove polovine

3.Dobijenu polovinu zaseći na pola

4. Ponoviti postupak 6 puta

Prikazani fraktal nastaje po sledećem algoritmu:

1. A4 papir presaviti na pola po vertikali

2. na strani papira koja nije zatvorena prilikom preklopa, početi zasjecanje

3. zasjecati papir na pravougaone trakice nejednakih debljina i razmaka

4. otvoriti preklop i početi izvlačenje papira

5. saviti trakice u uglovima, pri čemu nastaju ove kvadratne forme

Fraktal nastaje po sledećem postupku:

Jedan papir formata A4 saviti na pola, makazama iseći horizontalne linije jednakih širina i dužina. Svaku drugu "štraftu" blago saviti na dve polovine, a ostale između na trećine. Uzeti gornju levu i donju desnu ivicu i spojiti ih.

Fraktal je dobijen savijanjem papira A4 po horizontalnoj osi na pola, a zatim seckanjem sa leve strane ka desnoj ,od najveceg reza ka najmanjem i taj postupak ponavljan je do kraja papira.

Papir se presavije na pola. Na presavijenoj ivici seku se trouglovi na razdaljini od po 5 mm. Visina trouglova se sve vreme smanjuje. Vrhovi isečenih trouglova tada čine liniju po kojoj se svaka strana papira presavije na suprotnu stranu u odnosu na prvo savijanje. Nakon toga sa obe strane paralelno ivicama zasecamo do pola visine.

Papirni fraktal

Prikazani modul nastaje primenom sledeceg pravila:

Pravougaoni hamer 16/24 se podeli po kraćoj stranici na četiri jednaka dela. Po dužoj stranici se podeli jednako od obe ivice. Na sredini dobijenog centralnog pravougaonika se na polovini nacrta pravougaonik širine 1cm. Između svakog nacrtanog pravougaonika se na polovini visine zaseče pravouganok debljine 1cm. Dobijeni pravougaonik se smanjuje za 0.5cm sa obe strane, pomerajući se vertikalno za po 1cm. Svaki dobijeni pravougaonik se horizontalno zeseče. Postupak primeniti između svih vertikalnih pravougaonika.

Prikazani fraktal sam dobila iz A3 papira koji sam postepeno savijala ukupno 15 puta. Svaki deo sam presavila i sekla ga do pola njegove dužine. Prvo se dobije stepenasta struktura koja kad se presavije na unutra formira oblike različitih volumena. Kada se papir rasklopi daje dole prikazane oblike koji se mogu posmatrati sa obe strane (pozitiv/negativ). 

Prikazani fraktal nastaje savijanjem papira pravougaonog oblika po horizontalnoj osi,na dva jednaka dela. Linija preklopa postaje X osa. Na jednoj polovini papira nacrtana je kriva linija. Kriva linija je rotrana oko X ose za 180 stepeni (na drugu polovinu papira). Rotiranu krivu linija je  ponovo rotirana za 180 stepeni ali ovaj put oko Y ose (centar rotacije je srediste linije). Lenjirom nacrtane duzi ,koje su upravne na x osu i dodiruju obe krive linije, su udaljene 1 cm. Skalpelom su napravljeni prorezi izmedju pravih linija. Savijanjem dobijenih traka tako da formiraju prav ugao dobijamo prikazani oblik. 

Prikazani fraktal je dobijen presavijanjem papira, a ne secenjem. Papir kvadratnog oblika, dobijenog iz A3 papira (29,7cm x 29,7cm) presaviti tako da se dobije 16 manjih polja, odnosno 16 modula. Moduli pomazu u kasnijem savijanju papira. Zatim ivice velikog kvadrata spojiti u centru. Novi, manji kvadrat okrenuti na drugu stranu, ponoviti prethodni korak. Sada je dobijen novi kvadrat koji je manjih dimenzija I ima dva sloja. Drugi sloj kvadrata ostaje isti, dok se gornji opet savija ka centru. Ivice koje su spojene cine 4 trougla. Trougle ponovo presavijamo I tako nastaju sve manji I manji trougli. Na kraju se dobije oblik koji podseca na cvet.

*Naglašavam da nisam prisustvovao času izrade fraktala,ponovac sam.

Dobijanje papirnog fraktala:Nastaje savijanjem papira A3 formata po horizontalnoj osi, na pola. Zatim se zasecanjem po vertikalnoj osi dobijaju pravougaone trake. Izbacivanjem pojedinih pravougaonih traka ka spolja nasumicnim redom, dobija se kompozicija u kojoj se ponavljaju pojedini pravougaone trake i ka "spolja" i "unutra".

Postupak dobijanja fraktala:6 papira dimenzija 10x10 presaviti po dijagonali na pola,na kateti dobijenog trougla napraviti 5 "reza"  i to dužine 5cm,4cm,3cm,2cm,1cm (izmedju svakog reza napraviti distancu od 1cm).Otvoriti trogao na pocetnu kvadratnu formu.Spajati desni i levi rez.Svaki drugi put sa iste strane.Dobijenih 6 delova spojiti u dnu.

Prikazani fraktal nastaje sledećim algoritmom:

A4 papir saviti na pola po dužoj stranici, kada tako savijen papir okrenemo horizontalno i nađemo sredinu te položene stranice i odatle zasečemo papir do njegove sredine. Tako ćemo papir podeliti na dva dela i jedan od njih savijemo do suprotne strane tako da dobijemo kvadrat. Takav postupak ponoviti proizvoljan broj puta tako da svaku polovinu polovimo ispočetka.

*Prvi korak jeste podela papira na 5 jednakih delova
*Drugi korak jeste da na već odrađenoj podlozi odredimo 3 jednakokraka trougla koja se nalaze u gornjoj zoni rada, dok se u donjoj zoni formirani oblik dobija presavijanjem i udubljivanjem papira
Napomena:
Presavijanje se vrši na podelama papira (Prvi korak)

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu:

 Osnova modula je papir kvadratnog oblika od koga se presavijanjem dobija trougao. Trougao se zaseca na polovini presavijene stranice u obliku trougla. Zatim ponovo presaviti osnovu i postupak ponoviti jos 2 puta.

Papirni fraktal nastaje na sledeći način : 

Kvadrat 16*16cm podeliti po dijagonali i tačke koje su upravne na tu dobijenu dijagonalu spojiti na polovini dijagonale. Zatim se dobijena forma presavije po dijagonali na polovinu i linija savijanja se zaseče na deset jednakih delova. Potom se ta polovina presavije na pola i zaseče se na najkraćoj stranici dobijenog trapeza, po polovini. Fraktal se dobija razvijanjem forme i podizanjem visina i savijanjem određenih dobijenih delova. 

Fraktalni prostorni oblik se dobija prilikom vraćanja strukture na osnovu 16*16 i podizanjem i savijanjem njenih delova.

Ovaj papirni fraktal dobijen je presavijanjem A4 formata na pola, iscrtavanjem paralelnih linija jednake distance i zasecanjem odabranih delova.

Fraktal je dobijen na sledeći način:

 - Papir pravougaonog oblika presaviti na pola i zaseći dobijeni pravougaonik do pola sa leve i dasne strane, pri čemu se zaseci prave na jednakim rastojanjima od ivica.

 - Zasečeni deo daće novi pravougaonik na kome primenjujemo isti postupak. Procedura se ponavlja na isti nacin sto vise puta i na taj način se dobijaju sve manji i manji "stepenici".

Prikazan model nastaje po sledecem algoritmu:

format A4 duzom stranom podeliti na 21 jednakih delova, iz sredine papira sestarom napraviti kruznicu koja tangira duzu stranicu papira u krajnjoj tacki, zasecati jednake delove unutar kruznice, zatim svaki savijati sledecim redom: prvi saviti na 1/2, drugi na 1/3 i treci na 2/3, i tako ponoviti postupak do kraja.

Papirni fraktal iz priloga dobija se na sledeći način:
Papir pravougaonog oblika savija se na pola, a zatim se seče po sredini savijene ivice do otprilike polovine papira. Jedan deo isečene ivice se savija, dok drugi ostaje netaknut. Papir se zatim rasklapa. Nove ivice savijaju se suprotno od prvobitnog savijanja, a zatim se papir vraća u stanje pre rasklapanja. Proces može da se ponavlja sve dok ne dođemo do trenutka kada ne možemo više da savijemo jedan deo papira.  

Papir pravougaonog oblika saviti na pola i zaseci dva puta pod uglom od  sredine savijene ivice dve trecine papira,potom dva puta od sredine savijene ivice do jedne trecine papira.Ponoviti postupak nekoliko puta. Kada se otvori papir dobija se fraktal sa slike.

• Papir veličine a4 formata iseci do kvadratnog oblika, presaviti na pola. Od dobijenog kvadrata, odmeriti polovinu, a od bočnih ivica se pomeriti po 2.5 cm sa obe strane. Papir zaseći od povučenih ivica, do prethodno obeležene polovine. Dobijen deo ( između dva  reza ), presaviti paralelno ivici početnog kvadrata. Papir okrenuti na suprotnu stranu, i isti deo jos jednom presaviti. Otvoriti formu, i dobijen deo izvući napred. Formu zaklopiti, i ponoviti jos 2 puta.

Приказани модул настаје према наведеном алгоритму:

Папир квадратног облика се савија на пола, а потом се наизменично засеца по средини савијене ивице до половине краће станице добијеног правоугаоника. Затим се тако добијени засечени део савија паралелно дужој станици правоугаоника. Папир се тада расклапа и нове ивице се савијају у супротном смеру од првобитног. Папир се тада поново склапа и наставља се понављање наведеног поступка , са сваким наредним кораком засечени правоугаоници смањују.

Prikazani fraktal se dobija sečenjem papira na jednakostranične trouglove. Zatim, rezanjem istih na još četiri manja jednakoivična trougla. Ciklus se ponavlja. Potom dolazi do spajanja prvobitnih, sada zasecanih delova, što čini datu kompoziciju.

1) Presaviti papir na pola

2) Na polovini njegove širine zaseći do polovine njegove dužine

3) Presaviti gornji deo zasečenog papira

4) Ponoviti postupak 3 puta

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Prvo iseći papir u obliku kružnice, a zatim ga presaviti na pola. Obe polovine po horizontalnoj osi na polovini visine presaviti na pola. Dva simetrična dela na sredini treba zaseći na polovini, a zatim sa jedne strane zaseći dve četvrtine uz ivicu papira. Četvrtinu bližu centru papira treba izvući na suprotnu stranu od one kako je papir presavijen. Na drugoj polovini istih simetričnih delova zaseći dve osmine tako da budu bliže centru kružnice nego ivici papira. Po horizontalnoj osi na polovini visine treba presaviti tu stranu papira tako da zasečeni delovi budu okrenuti za 180 stepeni. Okrenute osmine bliže centru presaviti na gore. Druge dve osmine treba zaseći, zatim presaviti i spojiti. 

Papirni fraktal predstavljen na fotografiji dobijen je sledećim postupkom:

Papir A4 veličine presavijen je na pola po horitontalnoj osi. Zatim je tako presavijen na pola sečen po rubu gde je presavijen tako da na obe stranice kada se otvori dobije trogao. Postupsk je ponovljen četiri puta od početka ruba. Zatim se svaki drugi deo izboči ispred.

Na A3 papiru, ucrtati linije jednake razdaljine, tako da ima 9 linija i 10 polja. Počevši od prve, u svaku drugu ucrtavati pravougle trouglove čije su dve stranice paralelne dvema ivicama papira. Između tih trouglova treba da postoji određenja razdaljina. Kada se ucrtaju svi trouglovi, uzeti skalpel i svaki drugi trougao iseći potpuno, a preostale trouglove ostaviti neisečene na jednoj stranici. Taj dobijeni trougao izvući i presaviti tako da stoji upravno na papir. 

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir kvadratnog oblika savija se na pola i po horizontalnoj i po vertikalnoj osi i po dijagonalama.

Tako dobijeni papir, presavije se na pola i sa savijene strane simetrično se zaseca nekoliko puta, prateći presavijenu liniju dijagonale kvadrata, vodeći računa da se odvaja od nje. Zatim vratiti papir u prvobitni položaj, presaviti kvadratni papir na pola i ponoviti prethodno navedeni korak. Vratiti papir u prvobitni položaj i svaki drugi segment savijati ka centru kvadrata a preostale na suprotnu stranu.

Nakon presavijanja papira na pola po vertikalnoj osi, zasečene su paralelne linije pod uglom od 45 stepeni i dobijeni su oblici nalik obrnutom latiničnom slovu "V". Nakon toga je svaki drugi dobijeni oblik presavijan ka unutrašnjoj tj. spoljašnjoj strani.

Ovaj papirni fraktal nastaje tako što papir formata A4 presavijemo na pola po vertikalnoj osi, zatim se sa savjiene strane odmaknemo od obe ivice podjednako i zasecamo do pola po horizontali. Zasečeni papir savijamo prvo ka spolja, zatim ga savijamo ka unutra, tako da se on ne vidi. Svaki sledeći korak je isti, možemo ih ponavljati sve do ivice papira.

Fraktal prikazan na slici je dobijen savijanjem papira (21x21cm) po njegovoj dijagonali.Zatim se seku trouglovi debljine oko 1 cm, a i razmak izmedju istih je 1 cm. Prilikom isecanja trougla ne treba ga u potpunosti iseci do kraja, već treba vrh ostaviti ne isečeno. 

Prikazani fraktal nastaje prema sledećem algoritmu:

Papir pravouglog oblika saviti na pola po horizontalnoj osi, a potom na jednakom rastojanju papir zasecati na različitim duzinama. Zasečene delove presaviti po horizontali.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Papir kvadratnog oblika se savije po sredini oko obe ose, Dobijeni kvadrat (1/4 početne dimenzije) se savije dijagonalno. Zatim se isecaju rese u razmaku od 0.5 cm (ne celom dužinom dijagonale). Kada se papir otvori, dobije se modul kao sa slike. 

Priloženi fraktal nastaje primenom sledećeg pravila:

Papir kvadratnog formata se presavije na pola i zaseče sa dve strane savijene ivice; postupak ponoviti više puta sa manjim dimenzijama

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir kvadratnog oblika dimenzija 25x25cm saviti na pola. Zatim upravno na savijenu stranicu redom prosecati papir na svakih 1cm, tako da prvi rez bude dužine 11.5cm, a svaki sledeci kraći za 1cm i tako sve do reza od 0.5cm. Zatim svaki sledeći rez prosecamo tako da bude za 1cm duži od prethodnog, sve do reza od 5.5cm od kojeg je svaki sledeći rez manji od prethodnog za 1cm. Da bi se dobio ovaj karakterističan oblik potrebno je svaku drugu traku prebaciti na drugu stranu.

Papirni fraktal predstavljen na fotografiji dobijen je sledećim postupkom : 

Papir formata A4,pravougaonog oblika presavijen je na pola po horizontalnoj osi. Zatim je presavijeni deo sečen na pola.Nakon toga ta polovina opet na pola i tako istim postupkom dok nije nestao prostor. Na kraju su izvučeni isečeni delovi i presavijeni na pola,tako je došlo do oblika ovog fraktala

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Prvo je papir A4 formata presavijen na polovini, a zatim sa obe strane zasecen na cetvrtinama sirine papira. Ponavljanjem navedenog postupka dobija se modul sa fotografije.

Papir kvadratnog formata presavijamo na pola, zasecamo ga na polovini savijene ivice do polovine. Jedan od zasečenih delova presavije se paralelno sa dužom stranicom. ovaj postupak ponavljati na svakom manjem delu željeni broj puta.

Fraktal je dobijen tako sto sam presavila papir na pola, yatim ga otvorila i horizontalno povukla 7 linija proizvoljnih dužina s tim da sa jedne strane ka drugoj se dužina povećava, i razmak između linija je 3-4 cm, posle toga sam posredini između tih linija nacrtala "prozore" i horizontalne linije na onim razmacima gde su linije duže. Papir sam zatim zasekla po zadatim linijama i ponovo presavila na onu polovinu kao na početku. Na samom kraju presavila sam i manje površine koje su bile naznačene određenim linijama tako da "okviri prozora" idu spolja, a "unutrašnji deo prozora" sa suprotne strane.Ostale linije sam presavijala po istom principu s tim da idu naizmenično.

Prilozeni fraktal dobija se presavijanjem papira formata A4 po sirini, zatim se dobijeni pravougaonik zasece po sirini do pola i jedna polovina se presavije, gde se taj presavijeni deo ponovo zaseca. Postupak ponoviti n puta, po zelji.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: 

Papir 20cm*28cm podeliti na 14 jednakih delova (2cm*20cm) i zasecati papir po ivicama podeoka ( paralelno kracoj ivici dužinom zaseka 8cm) udaljenih redom od leve ivice papira: 2cm,3cm,4cm, 5cm,6cm,7cm,8cm, 7cm, 6cm, 5cm,4cm,3cm i 2cm. Dobijene isečke presaviti na polovini svoje dužine. 

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: 

Papir pravougaonog oblika presaviti po dužoj strani. Po sredini zaseći papir tačno do polovine širine. Zatim preklopiti jednu polovinu prema gore. Napraviti rezove na polovinama duž donjih stranica papira. Ponoviti postupak onoliko puta koliko je to moguće.

Prikazani fraktal nastaje po sledećem algoritmu:

Papir A4 je po dužoj stranici savijen na pola. Na dobijenom pravougaoniku,izmerimo polovinu kraće stranice, a na dužoj stranici uvlačimo se za po četvrtinu stranice sa obe strane. Papir zasečemo po označenim mestima. Deo koji je izmedju dva reza presaviti i ponoviti iste korake. Nakon ponovljenih koraka, raširiti papir i izvući pravougaonike.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:
Papir pravougaonog oblika saviti po dijagonali pa  zatim dobijeni trougao saviti na pola. Ponovo dobijen trougao zaseći na pet mesta s tim da prvi rez bude u dužini od dve trećine njemu paralelne stranice, a naredna četiri reza budu u dužini od jedne trćine iste stranice. Papir se rasklapa pa se zatim ponovo savija na polovine po horizontalnim osama. Papir ponovo rasklopiti i nove ivice saviti u suprotnom smeru od prvobitnog. 

Za dobijanje fraktala, uzet je papir pravougaonog oblika, presavijen na polovini po horizontalnoj osi; zatim zasecanjem naizmeničnih pravougaonika i njihovim presavijanjem po hotizontalnoj osi se dobijaju kvadrati različitih veličina, koji stvaraju dinamičnu kompoziciju.

*Napominjem da nisam prisustvovala vežbama, ponovac sam.

Presavijen je papir a4 formata horizontalno na pola. Svaka polovina je, dalje prepolovljena
Ako posmatramo datu duzinu papira u petinama, na prvoj i poslednjoj petini je proizvoljno zaseceno po horizontali i dijagonali kako bi se dobio pravougli trougao. Sredina izmedju dva dobijena trougla je dijagonalno presavijena. Na suprotnoj strani pravougaonika je na proizvoljnim mestima simetricno zaseceno. Proces se moze ponavljati vise puta.

Papirni fraktal nastaje po sledećem algoritmu:

kvadrat se savija po dijagonali, dobijeni trougao se savija na pola po najduzoj kateti, zatim se vrati na prvobitni oblik i savijaju se krace strane tako da dele naspramnu stranicu na 2/3 i 1/3 ( jedna se savija sa prednje strane, druga sa druge). Dobijenom obliku se isece visak (trouglovi koji vire) tako da se dobije jednakokraki trougao. Taj trougao se savija po sredini, zatim se seku zeljeni oblici po njemu. Nakon toga, savija se ponovo i seku se novi zeljeni oblici. Savijanje i secenje moze da se ponavlja dokle god je to moguce.

Fraktal se dobija tako što se od A4 papira iseče papir kvadratnog oblika, zatim ucrtati jednu dijagonalu tog kvadrata. Nakon toga podeliti dve susedne stranice kvadrata paralelnim linijama dok se te linije ne ukrste sa dijagonalom. Zatim svaku drugu od tih linija blago zaseći radi lakšeg savijanja papira. Na kraju se iterativnim savijanjem papira sa obe strane dijagonale po zasečenim linijama dobija prikazani fraktal.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Papir se presavija na pola. Zatiim se na donjoj polovini presavijene ivice isece pravougaoni oblik. Iseceni deo presaviti paralelno dužoj stranici. Kombinacijom ovakvih modula naslaje sledeći fraktal:

Ovaj fraktal nastaje po algoritmu: 

papir kvadratnog oblika dimenzija 20x20cm presaviti po dijagonali, zatim ga otklopiti, i presaviti istim pokretom i po drugoj dijagonali, dobivši kvadrat presavijen po dijagonalama koji potom presavijamo po polovini, najpre jednoj, a potom i drugoj. Sledeci korak je jako bitan, blagim pritiskom sa leve i desne strane formacije, guramo dva od četiri jednakokraka trougla ka unutra i dobijamo nova dva jednakokraka trougla koja sada imaju svoju debljinu u vidu multiplikovanih identičnih trouglova. Savijemo po jednom delove trouglova gde se nalazi oštri ugao i sada sledi finalni korak, između dve presavijene formacije, javiće se još jedna malo šira formacija koju nakon što smo savili na suprotnu stranu i prebacili njen vrh oko horizontalne ose ove papirne formacije, dobijamo naš fraktal.

Prikazani model je nastao savijanjem papira A4 formata po kraćoj strani, zatim zasecanjem po sredini savijene do 3 cm. Sledeći korak je bilo zasecanje savijene strane po 1 cm sa leve i desne strane postojećeg zaseka takođe do dužine od 3 cm. Svaki sledeći zasek je bio za 1 cm duži, sa rastojanjem od 1 cm izmedju zaseka do dužine zaseka od 8 cm.

Prikazani fraktal nastaje prema sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika presaviti na pet nejednakih delova, zatim prvi deo zaseci po vertikalnoj osi na cetiri mesta na vrhu i na dnu ivice, drugi na pet, treci na devet, cetvrti na cetiri i poslednji po sredini na cetiri mesta.Na posledku svaki drugi isečak izbaciti ka spolja,a ostale ka unutra.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Prikazani fraktal nastao je po principu savijanja papira u obliku kvadrata po horizontalnoj i vertikalnoj osi, pa po dijagonalama. Nakon toga ivice papira presaviti ka entru kvadrata i dalje nastaviti savijanje papira sve dok se u sredini ne dobije kvadrat. Nakon sto dobijemo vidljivi +, savijamo papir tako da dobijemo piramidu.

Fraktal je dobijen na sledeći način:

Papir A4 formata je dva puta savijen napola duž kaće ose. U sredini je napravljen prorez dimenzija 2,5cm x 3cm, a papir potom savijen još jedom ( napola, duž kraće ose). Isečena su dva jednakostranična trougla(str. 1cm) na udaljenosti 1,5cm od prvog proreza. Papir je potom razvijen u početni položaj. Papir je ponovo savijen i dva puta zasečen 2 cm od centralne ose 6 cm u dubinu a potom na udaljenosti 3,5 cm od centralne ose takodje 6 cm u dubinu. Na kraju je isečen pravougaonik dimenzija 8cm x 0,5cm, bliže osi između dva zaseka papira.

Postupak:

Papir A3 formata presaviti na pola po duzoj stranici. Zatim na presavijenom delu zaseci papir na dva mesta podjednako udaljenih od bocnih stranica. Zaseceni deo saviti ka unutra nakon cega dobijamo prostor na koji ponavljamo ovaj postupak. Postopak se moze ponavljati do ivica papira.

Ponovac sam i nisam prisustvovao proslom casu.

Prikazani modul nastaje prema sledećem algoritmu:

Kvadratni papir se savija na pola po horizontalnoj i vertikalnoj osi tako da se dobiju jednake četvrtine. Potom se papir savija na četvrtine ali ovog puta po dijagonalnoj osi, tako sto će se krajevi suprotni dijagonalama savijati dok sve dok jedna cetvrtina papira ne bude podeljena na 4 dela po dijagonalama. Potom okrenuti papir i ponoviti potupak sa svakim krajem papapira. Nakon toga u odnosu na centar papira, velika dijagonala papira izdiže savijanjem na spolja, a sledeća spušta. Postupak ponoviti dokle god se ne dobije približno piramidalni oblik. 

Modul dobijen na ovaj način može da se multiplikuje, i time dobijamo novu prostornu kompoziciju. 

Na a3 papiru pozicionirati kvadrat dimenzija 3,5 x 3,5 cm cija je konturna linija debljine 5mm. Kvadrati se koncentricno šire - svaki sledeći je veći za 2 cm, u priloženom primeru poslednji kvadrat je 14,5 x 14,5 cm. Kvadrat podeliti dijagonalno tako da se sa jedne strane dijagonale  konturne linije kvadrata prosecaju skroz, dok se sa druge strane samo zasecaju lagano da bi se papir lakše savijao. Papir saviti po drugoj dijagonali kvadrata tako da se na jednoj polovini dobije stepenište a na drugoj trake u obliku trouglova.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: papir veličine A4 saviti na pola i zaseći do pola  na svakih 7cm. Srednji deo izbaciti na drugu stranu i zasecati ga na svakih 1cm. Svaki drugi isečak izbaciti na suprotnu stranu.

Узимамо квадратни лист папира. Савијте дуж два супротна угла на пола. Из два два супротна угла преклопимо и преклопимо на пола. Проширите и то направите тако да преостале странице листа преклопите на пола. Сада покријте супротне углове дуж савијених линија према унутра ... повежите друга два угла заједно. Сада је морате окренути тако да ивице листа изгледају према горе, а средина листа је савијена према доле, као у првом фрагменту фотографије. Затим се ивице квадрата, савијене у средини листа, савијају, поравнавајући их дуж линије савијања резултирајућег квадрата изнад, као у другом, насупротном, уломку фотографије. А другу супротну ивицу савијамо на исти начин као у фрагменту у левој страни. Затим га окрећемо и урадимо исто са преостала два ивица. То ће резултирати тако неуједначеним ромбом, чији се део мора сећи само на кратким странама. Сада морате окренути радни комад, отворити један од четири претходно савијена угла и сакрити га унутра. Стога морате направити све углове који су претходно савијени тако да се не савију сви средином обратка и прво ка унутра. Савијте ивице радног дела дуж линија савијања према унутра.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Papir pravougaonog oblika savijamo na pola, zatim ga isečemo na 10 traka do sredine. Isečene trake savijamo u suprotnom smeru, a zatim ih vraćamo u prvobitni položaj. Otvaramo papir i savijamo trake tako da dobiju trodimenzionalni oblik.

Prikazan fraktal nastao je od hamera kvadratnog oblika dimenzija 15x15 centimetara.

Papir biva presavijen po središnjoj osi, a zatim se izrežu dve linije koje su od ivica presavijenog papira udaljene 3cm sa jedne i 3cm sa druge strane. Ovaj proces je ponovljen još dva puta, svaki put u manjim dimenzijama. Kada se papir vrati u prvobitni oblik i delovi krenu da se savijaju po 90 stepeni u negativ, dobija se forma koja je prikazana u priloženoj slici.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: papir saviti na pola, zasecati simetricno u odnosu na sredinu sve duže i duže ka krajevima.  Otvoriti papir i zasecene delove saviti na suprotnu stranu.

Postavka radi lakseg zasecanja: presaviti papir na pola i tretirati novodobijenu ivicu kao visinu jednakostraničnog trougla. Konstruisati nad zadatom visinom jednakostranični trougao tako da se jedna stranica poklapa sa ivicom papira to jest da bude upravna na visinu.

 Presaviti papir na pola po toj ivici i preseći papir na pola do nacrtane linije trougla. Presaviti jednu od dobijenih polovina (onu koja je bliza vrhu trougla) tako da sa linijom preseka i pocetnom visinom trougla formira pravougaonik. Dobijeni pravougaonik presaviti u sebe i tako se dobijaju dva fold-a koje oba treba iseci na sredini do nacrtale linije trougla i isto tako drugu polovinu papira koja nije sečena i presavijana (ona bliža osnovi trougla). Sve saviti unutar sebe i u ovom trenutku papir dobija oblik stepenica. 

nastaviti proces do zeljene kompleksnosti modela i rastvoriti papir.

Fotografije u prilogu. Jasno se vide linije početnog trougla.

Dobijeni fraktal nastao je tako što papir kvadratnog oblika presavijemo po horizontalnoj osi,  zasečemo ga 14 puta paralelnim potezima na jednakim odstojanjima i na kraju presavijemo zasečene delove tako da dobiju stepenastu strukturu.

Prikazani modul nasataje po sledecem algoritmu:

Papir A4 formata saviti po polovini duzih ivica, napraviti jednake rezove na jednakoj udaljenosti od ivica (2cm ili proizvoljno), deo izmedju dva reza izvaditi ka van, zatim na njemu napraviti nove krace rezove na jednakom rastojanju od prethodnik (2cm ili proizvoljno), ovog puta deo izmedju rezova ugurati ka unutar, ponavljanjem sto vise puta dolazi se do kraja.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir kvadratnog oblika presaviti na pola, zatim na jos jednu polovinu (Tako da se dobije manji kvadrat). Dobijenu polovinu savijati dijagonalno, po sredini i tri puta sa obe strane jednakim razmakom. Rasklopiti papir i onda savijati odredjene linije nastale od savijanja kako bi se dobio prikazan oblik.

Na centralnom delu papira A4 formata napraviti proreze (paralelne duzoj ivici papira),istih duzina i zeljenih razmaka tako da se sredine linija proreza poklapaju sa sredinom duze ivice papira.Presaviti papir na pola ,od krace ivice do krace ivice,zatim deo sa prorezima presaviti na suprotnu stranu.

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu : papir pravougaonog oblika vertikalno presaviti na pola i na trecine duzine papira i zaseci horizontalnim trakama razlicite duzine a jednake sirine od kojih najduza predstavlja trecinu duzine papira. Nakon toga saviti papir u odgovarajucu poziciju.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Hamer A3 sam savila na 4 jednaka dela po dužoj strani od 42cm. Središnja dva dela sam isekla horizontalno 5 puta po 1cm, jedan deo 10cm i ostalih 5 delova po 1cm. Potom sam savila ove delove tako da centralni od 10cm ide u suprotnom smeru od spoljašnjih.




Inače sam ponovac, i nisam prisustvovala predavanju.

Papir A4 saviti na pola. Na mestu gde je papir savijen zaseci 1.5cm od ivice papira sve do polovine papira. Otvoriti papir i dobijeni deo saviti na unutra. Ponoviti postupak svaki sledeci put sve do kraja paira. 

Za izradu ovog fraktala potreban je papir A3 formata. Zatim sestarom treba nacrtati i izrezati 15 krugova precnika 4cm, koje nakon toga treba presaviti na pola. Dobijene polovine treba spajati jednu na drugu i poslednju polovinu je neophodno zalepiti na pocetnu kako bi se dobio kruzni oblik. 

Ovaj fraktal se dobija tako što se:

1.      Gornji deo papira kvadratnog oblika spaja sa donjim

2.      Dobijena polovina se presavija s’ leva na desno, zatim se po liniji presavijanja gornji ugao četvrtine kvadrata spaja sa donjim delom linije presavijanja

3.      Kod desne strane koja nije savijana, uzima se donji ugao desne ivice i spaja se sa centrom koji je dobijen u postupku 2

4.      Deo papira koji je spojen sa centrom se vraća i spaja sa krajnjom ivicom

5.      Ceo levi deo se spaja sa dobijenom ivicom iz postupka 4 i po toj ivici se spaja i leva i desna strana tako da desna strana bude iznad, a leva ispod

6.      Stranici koja je iznad svih se uzima vrh (gornji ugao) i spušta se se sve dok se ne poklopi sa donjom linijom

7.      Po dobijenoj liniji presavijanja u 6. postupku papir se seče celom dužinom i zatim se rasklapa da bi papir došao u odgovarajući oblik

Rad sam započela oblikujući papir A3 formata u kvadratni oblik dimenzija 29,7x29,7cm. Zatim sam ga presavila po dijagonalama na jednu i po polovinama na drugu stranu. Nakon toga sam na svaku dijagonalu nanela jednakokraki trougao čije katete iznose 3cm. Te trouglove sam na dijagonalama sa spoljne strane nadopunila sa po četiri useka paralenih katetama trougla. Savijanjem papira sam dobila fraktal.

papir oblika kvadrata presaviti po dijagonalama i dva puta na pola, zatim polovine tako savienog papira savijati po linijam na jednakim ili srazmernim rastojanjima, liije treba da butu paralelne dijagonalama polovine savijenog papira, otvoriti i svaki sledeci preklop saviti u suprotnu stranu

Дужу страницу папира формата А4 пресавити на трећине, тако да крајње (слободне) трећине папира буду окренуте у супротним смеровима. Потом, једну трећину вратити у првобитно стање (пре савијања), како би ивица која је заједничка преосталим двема трећинама остала слободна за сечење. Сећи управно на заједничку ивицу мећусобно паралелне исечке, тако да се на сваки центиметар наниже, за центиметар и приближавамо ивици, све док јој се не приближимо на растојање од једног центриметра. Поступак поновити и за ивицу која је заједничка преосталим трећинама. Најпосле, све исечке извући на једну страну, а онај први, односно последњи оставити тако да буде супротно оријентисан њима.

Prikazani fraktal nastao je korišćenjem sledećeg algoritma: papir formata A4 presavije se na pola i zaseče se do sredine. Leva strana se presavije (zatvori) i zaseče do pola. Gornja polovina se presavije, a zatim se papir otvara i sredina se uvlači. Potom se izjednače sve strane i onda se taj postupak ponovi.

Prikazani fraktal nastaje kada na ivici presavijenog papira formata A4 nacrtamo 6 pravougaonika međusobno udaljenih 1cm, nakon čega makazama isečemo isključivo vertikale. Naizmenično pravouagonike savijati ka spolja pa ka unutra.

Prikazani fraktal dobijen je po sledecem algoritmu:

Papir formata A4 saviti na pola po horizontalnoj osi, zatim zaseci dva veca trougla jedan pored drugog, unutar svakog napraviti po jos dva manja trougla, papir otvoriti, prvi i treci trougao izbaciti spolja, dok drugi ostaje savijen ka unutra; zaseci krace stranice A4 papira u obliku trougla i saviti ivice da bismo dobili 'postolje'.

Postupak

Presaviti papir na pola i sa jedne strane zaseci 5 pravougaonika na razdaljini od1 cm  (duzine 2 i sirine 1 cm). Od prvog pravougaonika na razdaljini od 2 cm saviti ponovo papir i ponoviti ista zasecanja samo 4 puta. Sve to ponoviti dok ne ostane jedan pravougaonik. Kada se tako isecen papir otovri saviti ga tako da ti pravougaonici budu ispupceni, a delovi izmedju njih udubljeni. 

Papir kvadratnog oblika presavije se po dijagonali da se dobije jednakostranicni trougao. Po hipotenuzi se sasece do polovine donje stranice. Cela ta zasecena strana se presavije se levo. Na cetvrtini zakosene stranice koje smo dobili prethodnim savijanjem, zasecemo na cevrtini do polovine donje stranice. Posle toga, od polovine glavne hipotenuze zasecemo od njene polovine do polovine donje stranice i savijemo je levo.

Presaviti papir na pola. Sa strane gde je preklopljen nacrtati pravougaonike po sredini papira ( od najmanjeg ka najvecem ) i zaseci sve vertikalne ivice pravougaonika, zatim presaviti po horizontalnoj osi svaki od njih, rasiriti papir i izvuci delove.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Papir kvadratnog oblika saviti na pola po dijagonali, tako da se dobije jednakostranični trougao. Taj postupak ponoviti još dva puta. Dobijeni jednakokraki torugao zasecati makazama horizontalno, naizmenično, sa jedne i druge strane. 

*Nisam prisustvovala času izrade fraktala.

Na papiru proizvoljnog oblika nacrtati stepeniste, zatim horizontalne linije nacrtati punom linijom, a vertikalne nacrtati isprekidanom linijom. Potom iseci samo horizontalne linije odnosno neisprekidane, zatim savijati po isprekidanim odnosno vertikalnim linijama kako bi dobili sledeci frakal.

Papir A4 saviti na pola, zaseci ga po polovini i jednoj cetvrtini do polovine sirine, zatim iseceni deo saviti sa unutrasnje strane (uviti). Taj postupak ponoviti svaki sledeci put.

Na slikama prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir A3 formata saviti na pola, zaseći po sredini savijene ivice do polovine presavijenog papira i nastaviti sa zasecanjem ka ivicama tako da svaka sledeća dobijena forma bude duplo manja od prethodne. Na kraju zaseći duplo manju formu u svaku dobijenu tako da je izvrnuta na suprotnu stranu.

Ovaj fraktal sam dobila tako što sam papir veličine 29x29cm savila po dijagonali, zatim odsekla teme pravog ugla dobijenog trougla i obe strane presavila na 2 cm. Nakon toga sam odmerila po 10 cm od temena na dužoj stranci nastalog trapeza (dijagonali prvobitnog kvadrata 29x29) i zasekla ka unutra 5cm, to sam ponovila jos 2 puta na razmacima od 2cm i 4cm i izbacila dobijene površine.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika formata A4 se savija na pola po dužoj stranici, potom se zaseca po sredini savijene ivice do polovine kraće stranice dobijenog pravougaonika. Tako dobijeni zasečeni deo se savija paralelno dužoj stranici pravougaonika. Papir se rasklapa i dve od tri od novih ivica(srednja i desna) se savijaju u suprotnom smeru od prvobitnog. Papir se onda iznova sklapa i nastavlja se iterativno ponavljanje istog postupka, samo se sa svakim narednim ponavljanjem pravougaonici smanjuju i broj pravougaonika i zaseka se duplira.

Prikazani modul nastao je po sledećem algoritmu:

Papir A4 formata sam savila na pola po kraćoj strani. Na sredini sam zasekla 26 trakica.

Svaku drugu trakicu sam izvukla i presavila na drugu stranu.

Prikazani model fraktala je nastao savijanjem na pola papira pravougaonog oblika po horizontalnoj osi.

Ta zasečena linija sada predstavlja glavnu osu i od nje sam sve ostale linije sekla sa pomerajem 

 0.5 cm ka desno odnosno za manje 0.5 ka levo. Zatim sam zasekla krivu liniju sačinjenu od dve elipse 

čiji je presek u glavnoj osi.Takodje sam zasekla krajeve svake presečene linije i njihovim savijanjem

 se dobija ovakva struktura.

Polovinu papira A4 formata presaviti na pola i zatim zaseći koso. Zasečeni deo presaviti i odseći donji trouglasti kraj. Ceo postupak ponavljati odgovarajući broj iteracija.

Dati Fraktal je dobijen na sledeći način:

-Pravougaoni papir presaviti na pola po dužoj stranici. Potom pronaći četvrtine (levu i desnu) na savijenoj stranici, iz kojih se zaseca paralelno kraćoj stranici do njene polovine. Zasečeni deo presaviti duž rasečenog dela i potom otvoriti čitav papir. Zatvoriti ga ponovo na drugu stranu, kako bi se savijene ivice dobro presavile i izravnale. U novo-dobijeni manji pravougaonik ponoviti isti proces. Proces se može ponavljati više puta, u zavisnosti od velicine papira. U mom slučaju 3 puta. Ovakvim procesom/načinom izrade se dobio dati Fraktal.

Prikazani modul se dobija tako što papir oblika kvadrata presavijemo po njegovoj dijagonali, zatim se po toj dijagonali seku 3 trake iste širine, a različite dužine. Trake se savijaju na polovini tako da kada se saviju ostaju u obliku trougla i ne izlaze van njega. Nakon toga se iz tih novih presavijenih delova seku još po 3 trake i proces se još jednom ponovi. Naravno, proces se može ponavljati u zavisnosti od veličine papira odnosno početnog kvadrata.

logika generisanja (algoritam) priloženog geometrijskog oblika:

Krenuti od tetraedra čija je najviša strana horizontalna, i predstavlja "bazu" tetraedra. Razviti omotač tako da se nakon izvršene transformacije sve tri stranice koje su u jednom od svojih temena sadržale "vrh" tetraedra sada nalaze ortogonalno na ravan baze. U tri novodobijena jednakostranična trougla (i prvu put nad početnim, tj. bazi) definisati srednje linije toruglova, i nad trouglom koji se nalazi u sredini polja nastalih podelom srednjim linijama trougla konstruisati nove tetraedre, tako da im je pomenuti novodefinisani trougao nova "baza". Nad novodefinisanim tetraedrima ponoviti prethodno definisanu logiku generisanja fraktala.

Prethodno definisan postupak ponavljati bezbroj puta.

NAPOMENA:

(Kod tetraedra sve strane mogu biti baze, ali zbog daljih transformacija se u opisu logike geneze geometrijskog oblika jedna stranica (jedan jednakostraničan trougao tetraedra) naziva i definiše kao "baza", i u odnosu na nju definišem "vrh" kao jedino preostalo teme koje ne pripada ravni te "baze")

Iseci papir u obliku kvadrata, presaviti na pola, te dve polovine uzduzno opet na pola ka unutra. Dobijeni pravougaonik presaviti na dva dijagonalna kraja, samo ivice, zatim uvuci ivice koje nismo presavili unutar ovih koje jesmo, svaku do svoje susedne.
Na ovakav nacin dobija se modul koji se sastoji iz 2 trougla, spajanjem trouglova razlicitih velicina dobija se fraktal prikazan na slici.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Papir kvadratnog oblika saviti na pola, zatim tako dobijeni pravougaoni oblik saviti na pola po širini, dobijeni kvadratni oblik presaviti po dijagonali na pola, a zatim dobijeni trougao presaviti isto na pola po njegovoj visini. Kada se papir razvije dobije se podela na osam trouglova i svaki od njih treba presaviti na pola po dužini.

Savijanjem svake dobijene ivice, dobija se prostorna kompozicija prikazana na slici. 

Prikazani fraktal je nastao od pravougaonog papira A4 formata, savijanjem papira popreko na pola tako da se poklope stranice od 21cm. Zatim sam od kraće stranice papira izmerila 4 cm i povukla paralelne linije (koje se povećavaju za 0.5cm) na rastojanju od 1cm. 

Zatim sam papir zasekla po tako dobijenim linijama. Počevši od vrha, prva linija je 1cm, druga 1.5cm i sve tako do poslednje od 8.5cm.I sve sto sam dobila zasecanjem presavila sam na unutra.

Prikazan fraktal dobila sam tako sto sam izrezala papir A4 na dimenzije 15x15 zatim na njemu iscrtala kruzne linije od najmanje ka najvecoj i njih kasnije isekla skalpelom i te krugove podizala i savijala jedn na gore drugi na dole a zatim isekla papir od gornje ivice do najveceg kruga i od donje ivice do najmanjeg kruga i medjusobno ukrstila cime sam dobila preplitanje krugova,sto se vidi na slikama

Prikazani model fraktala je nastao savijanjem papira na polovine pravougaonog oblika po horizontalnoj osi. Zatim sam pocela da vucem paralelne linije u razmaku od po 1cm od pocetka do kraja stranice papira i razlicitih, precizno nedefinisanih duzina. Nakon sto sam ih zasekla skalpelom pocela sam svaku drugu zasecenu liniju da podizem i namestam tako da stoji pod uglom od 90 stepeni.

Papir pravougaonog oblika saviti tako da ivice papira(po dužoj strani) dođu do sredine. Odrediti modul po kom ce se dijagonalno savijati papir sa svih strana(ja sam stavila 6cm). Iscrtati linije po kojima se savija papir,saviti ga po njima i tako se dobija fraktal sa slike.

Papir pravougaonog oblika saviti tako da ivice papira(po dužoj strani) dođu do sredine. Odrediti modul po kom ce se dijagonalno savijati papir sa svih strana(ja sam stavila 6cm). Iscrtati linije po kojima se savija papir,saviti ga po njima i tako se dobija fraktal sa slike.

papir je presavijen na pola i zasecen do pola, donja polovina je zasecena na prvoj trecini do pola, a na trecoj trecini vise od pola. Goranja polovina je na drugoj cetvrtini zasecena do pola i trec cetvrtina na pola druge cetvrtine. zatim je papir otvoren i posatavljen.

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu:

Saviti pair na sredini, zatim iseci po horizontalama upravno po na ivicu koja je savijena. Dobijene delove uvlaciti ka unutra i spolja. 

Student:Lidija Zarić 2019/11175

Papir A3 formata presaviti na pola, dijagonalno zasecati vertikalne linije smaknute za po 1cm, ka levoj i ka desnoj ivici papira. Sve vertikalne linije spojiti sa naspremnom. U centralnom delu zasecati papir dijagonalno ka sredini. Gornji deo papira postaviti vertikalno i saviti stepenike, pa izviti svaki drugi deo. Na kraju uviti delove u centru koji su ostali.

Papir pravougaonog oblika saviti na pola. Na trećinama dužih stranica napraviti prorez jednak polovini kraće stranice. Svaku od tih trećina posmatrati kao novi list i ponoviti postupak. Nastaviti postupak do tri ponavljanja.

Prikazani modul nastaje po sledećeme algoritmu:

Papir kvadratnog oblika se savija po svojim dijagonalama (obe dijagonale), tako da se dobije jednakokraki trougao. Nasumičnim zasecanjem krakova tog trougla dobiće se sličan fraktal ovom prikazanom.

Ovaj fraktal sam dobila tako sto sam papir a4 formata savila po horizontali i napravila rastojanje 3 cm od ivica papira  i zasecala papir na svaki cm gde je svaki deo bio duzi za 0,5 cm isekla sam ovakvih 15 traka zatim sam ove trake savila na unutrasnju stranu

Prikazani model fraktala nastaje po sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika prepoloviti po horizontalnoj osi 3 puta zaredom, zatim ga vratiti u prvobitno stanje. Papir saviti 3 puta, ali sada po hor. osi. Vratiti ga u prvobitno stanje, saviti po hor. osi, zaseći ga na polovini do polovine, zatim te 2 manje polovine saviti na 2 dela i zaseći ih na polovini do polovine. To ponoviti još 2 puta i fraktal je gotov.

Prikazani modul nastaje sledećim postupkom:

Papir pravougaonog oblika saviti na pola po horizontali. Zaseći na jednakim rastojanjima sa desne i sa leve strane po sredini savijene ivice. Zasečene delove saviti po horizontali. Ponoviti postupak tri puta.

Papir kvadratnog oblika presaviti na pola. Po sredini zaseći papir dužinom koja će se postepeno smanjivati ka levoj i desnoj strani sa medjusobno jednakim razmacima.

Fraktal je nastao formiranjem pravilnog tetraedra spajanjem jednakostranicnih trouglova od kojih se odseca manji trougao cija su temena u sredinama stranica jedne strane tog tetraedra, cijim odsecanjem nastaju tri manja trougla, zatim se postupak ponavlja na manjim trouglovima.

Dati fraktal sam dobila presavijanjem A4 papira na pola zatim sam zasekla papir po sredini za polovinu stranice i tu polovinu zasecam za polovinu stranice i drugu polovinu regulišem na isti način.Svaku četvrtinu sam sekla na pola i jos jednom ponovila postupak za finalni rezultat.

Фрактал сам направила тако што сам горњу ивицу А4 папира пресавила да се поклопи са десном и на тај начин добила квадрат, вишак сам исекла. Квадрат сам пресавила по дијагонали и добила троугао. Тај троугао сам пресавила на половину. Исто тако и нови добијени троугао. Затим тај мали троугао сам пресекла маказама на 6 делова по хипотенузи. Када сам расклопила папир и довела га опет до квадрата ,на исти начин као и хипотенузу малог троугла секла сам дијагонале квадрата. Затим сваку другу траку сам пресавила супротно од онога како је првобитно била. Спојила сам горњу и доњу ивицу која полови квадрат по вертикали и добила свој фрактал.

Ovaj fraktal je dobijen presavijanjem papira A3 formata i isecanjem međusobno paralelnih linija različitih dužina po principu gde su po dve linije iste dužine i na taj način se dobijaju tri tračice različitih debljina. Zatim treba presaviti papir sa suprotne strane i na taj način dobijamo siluete 3 kvadrata različitih veličina.

Papirni fraktal na slici dobija se na sledeći način:

-A4 papir presaviti na pola

-Na polovini ose savijanja iseći prorez do sredine kraće ivice presavijenog papira

-Jedno od dva dobijena "krilca" presaviti tako da se njegova ivica poklapa sa ivicom papira

-Rasklopiti papir i gurnuti presavijeno krilce ka unutrašnjoj strani savijenog papira

Fraktal nastaje po sledecem algoritmu:

Papir A4 podeliti horizontalno i vertikalno na 8 delova i to na taj nacin nacin sto cete savijatib na pola dok ne dobijete zeljeni broj delova.Pocevsi od dna papira zaseci na prvoj horizontalnoj podeli i to  tako da sa strana ostane po jedno polje. Na svakoj sledecoj horizontalnoj podeli smanjiti zasek za po dva polja i zatim postepeno sa minimalnog zaseka vracati na maksimalan od 6 polja, ovaj proces se moze ponavljati beskonacno mnogo puta. Prostore izmedju zaseka naizmenicno savijati na dole i gore formirajuci   tako ravni cija kontura vuce na trouglove(ponoviti proces koliko god puta u zavisnosti od zelje). Krajnje vertikalne podele saviti na gore.

Papir dimenzija 10x10. Ivice saviti dijagonalno i zatim odvojen deo iseći. Onda odvojiti sam papir i spojiti delove sa suprotnima.

Prikazani fraktal dobijen je presavijanjem papira a4 po horizontalnoj osi, zatim se papir zaseca po jednakim rastojanjima od centra prema bocnim ivicama i u jednom i u drugom pravcu.To zasecanje se ponavlja vise puta.

Papirni fraktal je izveden na sledeci nacin:

Papir pravougaonog oblika presaviti na pola po vertikali. Duz savijene ivice papira napraviti niz paralelnih zasecanja na istim udaljenostima, koji se postepeno povecavaju. Zatim se svaka druga traka savije na suprotnu stranu od prethodno savijenog papira.

Dobrijeni fraktal sam dobila sledecim postupkom:

Kvadratni papir saviti na pola i na ivici gde je papir savijen sa desne strane zaseci papir malo vise od pola i saviti dobijeni deo i izvuci ga sa suprotne stane(unutrasnjosti papira), isto uraditi i sa leve strane. Sa desne strane papira ponoviti postupak jos dva puta. Na sredini papira zaseci jos 3 puta papir preko pola i izvuci ga sa unutrasnje strane. 

Dati fraktal je dobijen na sledeći način: Pravougaoni papir presaviti na pola, iscrtati paralelne linije na jednakom rastojanju sa proporcionalnim smanjenjem dužine pri svakoj sledećoj liniji. Nacrtane linije iseći i izbaciti na suprotnu stranu. 

Prikazani fraktal nastaje tako sto se papir a4 presavije na pola a zatim se krene zasecati od sredine , svaki put se rastojanje poveca za 2cm ,a visina zasecanja se isto poveca za 2 cm . Kada se papir isece ,dobijene trake se presaviju na pola tako da stoje ispred ravnii papira (ispupceno) .

Fraktal se dobija kada se A3 papir presavije na pola, duza ivica dobijenog pravougaonika se podeli na pola. Potrebno je obeleziti  polovinu duze ivice, 1 cm levo, 1 cm desno i 1cm u visinu ,tako da se spajanjem obelezenih tacki opet dobije pravougaonik. Ova radnja se ponavlja kolko god zelite puta, svaki sledeci za 1cm vise od prethodnog(u levu,desnu stranu i visinu). Na kraju se na papiru skalpelom izrezu sve paralelne, vertikalne linije. Kada se papir otvori jedan iseceni segment ide ispred dugog koji ide iza, i tako do najveceg isecenog segmenta,

Algoritam: papir saviti na pola i na savijenom delu ga zaseći na svakih 2 cm u visini od 1,2,4,6 i 8 cm pa na niže do kraja papira (8,6,4,2,1 cm). Svaki podeok od 2 cm zaseći još 4 puta na jednakom rastojanju. Saviti svaki podeok na različite strane.

Inicijator je nastao tako što je na papiru oblika kvadrata, u pravcu njegovih dijagonala, bio oduzet deo kruznog oblika precnika 2cm, pozicioniran sa centrom na razmaku od 4cm od krajeva dijagonala. Takođe se na preseku središnjih linija i ivica kvadrata oduzima deo papira trougaonog oblika čija se jedna ivica poklapa sa ivicom kvadrata i dužine je 4cm.  Svaka sledeća iteracija manja je za polovinu od prethodne promene. Potom papir se savija po dijagonalama i središnjim linijama da bi se dobila "privlačnija" forma.

Prikazani model fraktala nastaje po sledećem algoritmu: 

Prvo treba po duzoj osi presaviti papir na pola, zatim i taj deo presaviti na pola. Nakon toga iz trougla kojeg smo dobili izvući samo linije različitih dužina po dužoj strani trougla. Svaku drugu presaviti sa spoljašnje strane. 

Приказани фрактал настао је коришћењем следећег алгоритма: папир формата А4 пресавије се на пола и засече се до средине. Лева страна се пресавије и засече до пола. Горња половина се пресавије, а затим се папир отвара и средина се увлачи. Потом се изједначе све стране и онда се тај поступак понови.

Papir kvadratnog oblika savija se po dijagonalama, nakon toga savija se po horizontalnoj i vertikalnoj osi skupljajuci sredine ka unutra. Ćoskovi se zatim spajaju u vrhu i zaseca se s leve i desne strane savijene ivice. Rasklopiti papir i saviti ka unutra po horizontalnim i vertikalnim osama i gornju ivicu ispraviti.

Priložen fraktal dobija se vertikalnim presavijanjem papira A4 dimenzija, zatim se papir zaseca po horizontalnoj osi isprativši željeni algoritam. ( npr. 0.7cm, 0.5cm, 0.8cm, 0.5cm, 0,9cm ). Po završetku isecanja, model se spaja fragmentima na ivicama bez linijskih zaseka ( spajajući ih odredjenim kombinovanjem novih proizvoljnih useka )

Prikazani fraktal je nastao multiplikacijom i smanjivanjem oblika trougla. Vertikalnim zasecanjem po sredini oblika i sečenjem po jednoj (gornjoj) ivici trougla. Zatim sam ceo papir savila pod uglom od 90 stepeni, vodeći računa da svi moduli budu izbačeni na stranu na koju sam savila papir.

Prikazani primer papirnog fraktala nastaje po sledećeg fraktala:

Pravugaoni papir saviti na pola po dužoj stranici, potom zaseći papir od sredine savijene stranice do centra papira. Gornju polovinu saviti do suprotne strane, zatim raziviti papir i nove ivice saviti u suprotnom smeru od prvobitnog. Takav postupak nakon ponovnog sklapanja papira iterativno ponavljati željeni broj puta.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

A4 papir se presavije na pola po duzini.Savijen papir se zatim 2 puta  savije po duzoj stranici na pola. Tako savijen papir se naizmenično zaseče po duzoj stranici odozgo i odozdo tako da isečci budu paralelni.Tako isečen papir se razvuče i dobije fraktal kao na slici.

Za pahulju potrebno 6 papira A4 formata, makaze. Papir najpre presaviti da se dobije trougao, zatim odseći deo koji je višak tako da od papira ostane samo oblik kvadrata. Ponovo presaviti trougao na pola. Postaviti donju ivicu dobijenog papira tako da se ona lista. Zasecati vertikalne linije ali ne do kraja lista. Savijati i po sredini spojiti zasečene trake. Postupak ponoviti za ostalih pet papira, na kraju ih sve spojiti.

Zatim se na mestu savijanja papir zaseca na jednakim rastojanjima tako da se dobije talasasta forma.

Sledeći korak je savijanje svih ivica papira u suprotnu stranu od početnog i njihovo zasecanje pod kosinom.

Prostornost se postiže naizmeničnim izvlačenjem zasečenih delova papira.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika presavijen je po sredini duže ivice, vertikalno. Zatim je ivica po kojoj je presavijen zasečena horizontalno na dva dela, tako da se dobiju tri dela jednake visine i širine jednake četvrtini širine početnog pravougaonika. Srednji je presavijen na suprotnu stranu i dalje se ponavlja analogni postupak.

Prikazani fraktal nastaje tako sto papir poprecno podeli na sto manje delove a onda tako prethodno savijen se deli na jos manje trouglove koji se zatim uvlace odnosno izbacuju kako bi dali cik cak izgled 

Prikazani fraktal nastaje na sledeći način: presaviti papir pravougaonog oblika na pola po dužini a zatim iseći dužinom savijanja na 19 jednakih delova,pa te delove ponovo po dužini do pola. Izbacanjem dvakog drugog dela nastaje ovaj fraktal.

Papirni fraktal nastaje iterativnim procesima. Prikazani modul nastaje prema sledećem algoritmu: papir kvadratnog oblika saviti na pola, zatim savijeni (duži) deo novonastalog pravougaonika treba podeliti na pola i iseći ga do polovine njegove širine (kraćeg dela pravougaonika). Papir tada treba rasklopiti i nove ivice treba saviti u suprotnom smeru od prvobitnog. Ovaj postupak se ponavlja ukupno 3 puta, i kao rezultat dobijamo fraktal prikazan na slici: 

Prikazani modul nastaje prema sledećem algoritmu:

Papir A4 formata se savija na pola, a potom se zaseca po sredini savijene ivice do polovine kraće stanice dobijenog pravougaonika. Zatim se tako dobijeni zasečeni deo savija paralelno dužoj stanici pravougaonika. Papir se tada rasklapa i nove ivice se savijaju u suprotnom smeru od prvobitnog. Papir se tada ponovo sklapa i nastavlja se iterativno ponavljanje navedenog postupka (n puta),  samo se sa svakim narednim korakom zasečeni pravougaonici smanjuju i smanjuju.

Format papira A4, presavijen na pola, zasecen sa previjene strane na 6 mesta na svakih 1cm, otvoriti i svaki zaseceni segment naizmenicno saviti (unutra-izvan)

prikazani modul nasteje po sledecem algoritmu:

Papir pravougaone osnove presaviti na pola, odvojiti margine 2,5cm i iseci dve linije do polovine dobijenog. Zatim presaviti po isecenim linijama i na tom novom pravougaoniku odvojiti margine 1,5cm i ponovo iseci dve linije do polovine pravougaonika. Postupak ponoviti 4 puta.

Prikazani fraktal dobijen je savijanjem A3 papira po horizontali i potom zasecanjem istog ( tako savijenog) u određenoj udaljenosti od ivica. Zasečeni papir se zatim otvori i zasečeni deo se savije ka unutra. Papir se ponovo istim principom zaseca  i savija još 2 puta. 

Ovaj fraktal se dobija sledećim postupkom:

Saviti A4 papir na pola, napraviti razmak od 4cm od kraćih ivica sa obe strane i zaseći do polovine savijenog papira paralelno sa kraćim ivicama, zatim presaviti dobijeni isečak i ponoviti postupak koliko god je puta moguće i na kraju rašitriti savijeni papir i namestiti "stepenice"

Priloženi fraktal dobija se sledecim postupkom:

1. savijanjem papira pravougaonog oblika po vertikali 

2. zasecanjem do pola širine po vertikali tako savijenog papira, tako da mesta zasecanja budu na jednakim rastojanjima. 

3.Postupak ponoviti dva ili vise puta.

4. Po završetku ispraviti papir i svaki isečak izbacivati ka spolja.

Papir a4 presaviti na pola po duzini.Postaviti lenjir duz njegove savijene ivice.Uzeti 3cm od gornje ivice papira,kasnije 3 cm i sa gornje ivice.Iz te tacke povuci visinu 7 cm.Makazama iseci date ivice.Ovaj veliki deo papira isecen,povuci u suprotnom pravcu.Ponoviti postupak sa manje delove proizvoljnih velicina.

Zatim ga po dijagonali presaviti na pola. Trouglu koji dobijemo naći ćemo sredinu najduže stranice i levi ćošak presaviti tako da novi prevoj bude paralelan desnoj ivici a da sadrži sredinu najduže stranice. Ponovićemo to i za desni ćošak samo što novonastali deo nećemo staviti preko već postojećih nego iza njih.

Trebalo bi da sada imamo treougao koji na dnu ima tri šiljka. Presavićemo ga na pola po duži koja ga deli na dva simetrična dela.

Dalje postupiti kako god, mogu mu se i odseći ta dva pipka, tad valjda sredi kreativni proces.

Srećni praznici, valjda ćete lepiti po prozorima ovo nekad

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: papir kvadratnog oblika saviti na pola,zasecanje se vrsi po trakama pravougaonog oblika koje se prostiru od sredine pravougaonika ka spoljasnjim stranicama.Trake su na jednakom udaljenju jedna od druge(u mom slicaju 0.5 mm).Trake se seku tako da leva strana dobijenog pravougaonika(zamisljeni levi kvadrat) biva u zasecena upotpunosti,a desna strana pravougaonika(zamisljeni desni kvadrat) zasecamo do dijagonale kvadrata.Nakon zasecanja vracamo papir u pocetni polozaj.Trake se naizmenicno savijaju ka spolja i ka unutra,tako da se na kraju ukrstaju izmedju zamisljenog desnog i zamisljenog levog kvadrata.

За израду овог задатка употребила сам бели хамер формата 40х40цм. Поделила га на 8 делова-двема линијама које спајају средишта наспрамних ивица и двема дијагоналама. Затим сам извлачила траке управно на дијагонале. На два поља заједно налази се укупно 5 трака, средишња је најдужа, 14цм, две следеће, једна изнад, друга испод најдуже, 10цм, на крају се налазе још две чије су дужине 5цм. Тај принцип је поновљен 4 пута.

Potrebno je iseći papir u obliku kvadrata, presaviti ga na pola, te dve polovine uzduzno ka unutrasnjosti ponovo na pola. Pravougaoniku koji se dobije presaviti dijagonalno postavljene ivice, onda uvuci ivice koje nisu savijene unutar onih koje jesu, odnosi se na dve sa iste (krace) ivice pravougaonika.
Ovako dobijeni modul se sastoji od 2 trougla, spajanjem trouglova napravljenih od razlicitih velicina kvadrata (sa pocetka) nastaje fraktal koji je prikazan na slici.

Prikazani modul nastaje po sledecem principu: 

Papir kvadratnog oblika 25x25 sa marginama po 3,5cm dobijamo kvadart 18x18 koji sam podelio na jednake module od po 1.5 cm, dobijene stranice se zasecaju, svaka neparna stranica se savija na pola ka gore, a svaka parna ka dole.

Papir sam presavio na pola, sa obe strane ivice zasekao sam papir duzine 3 centimetara i tako svaki sleci korak. 

Papir a4 oblika se savija na pola, a zatim se seče po sredini  do polovine stranice dobijenog pravougaonika. Zatim se to ponavlja više puta.Papir se rasklapa i savija u suprotnom smeru.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: Savila sam kvadratni papir dva puta dijagonalno da bi se dobila 4 trougla. Onda sam sredine donjih ivica trouglova povukla prema centru i dobila ovo: 1. Dvije naspramne strane sam savila tako da njihovi slobodni vrhovi su okrenuti prema dolje: 2. Njih dvije sam podigla i namjestila tako da ulaze jedna u drugu: 3. I ovo je konačan rezultat: 4.

Prikazan modul nastaje po sledecem algoritmu:

-papir A3 presaviti na pola

savijeni papir zaseci do polovine polovine A3 formata, razmak izmedju linija se krece 1cm do 3cm

kada se rasklopi A3 format naizmenicno pomerati linije ka unutra i ka spolja

Prikazani fraktal se dobija na sledeći način : 

Papir A4 ili A3 presaviti po kraćoj stranici na dva jednnaka dela ( na pola) . Zatim naći centar tako savijenog papira  i po sred njega nacrtati pravougaonik 2x1 cm na strani presavijanja. Nakon toga docrtavati pravouganike (okvire) veće za 1cm u visini i širini od  svakog prethodnog. Broj tih pravougaonika po želji. 

Zaseći po visini i nakon toga raširiti papir i rasporediti isečke. 

Prikazani fraktal je dobijen, zasecanjem pravougaonika na 18 jednakih delova od 1cm, zatim svaki  drugi deo saviti na  suprotnu stranu. Ne treba seći do kraja svaki deo vec sa svake strane ostaviti baram 1,5cm, da bi delovi bili povezani.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Na papir pravougaonog oblika skalpelom iseci linije po dijagonali, zatim iste saviti po ulovima. Gornju ivicu zaseci po uglu i prebaciti krak ispod suprotne strane povrsi.

Prikazani fraktal sam dobila na sledeći način:

Uzela sam a4 papir i savila ga na pola sa duže strane, zasekla na polovini i presavila levu stranu, zatim zasekla tu polovinu i takođe savila na levoj strani i na kraju četvrtinu na desnoj strani zasekla i savila. 

Način na koji sam pravila fraktal: Prvo sam papir po horizontalnoj osi podelila na 2 jednaka dela, ppa sam donji deo papira iseckala na 13 jednakih delova. Donji deo papira sam podelila na 2 jednka dela i isekla do polovine polovine, samim tim se papir podelio na 3 jednaka dela. Drugi deo sam po 1 cm isekla sa 2 strane, a sa jedna zasekla, tako sam uradila i sa 3. delom. Onda sam i sa donje desne strane zasekla ćošak.

Prvo sam presavila papir na pola, pa sam sa jedne i druge strane odmerila po 2cm  i zasekla 7cm,zatim sam presavila taj deo sa jedne i druge strane.Onda sam postupak ponovila za sledeca tri puta,samo sto sam za svaki smanjivala po pola cm  i za po pola u zasecanju.Poslednje savijanje fraktala sam presavila dva dela na jednu stranu i dva dela na drugu stranu i zatim sam zasekla.To je ceo postupak mog zadatka.

Prikazani fraktal dobijen je sledećim postupkom:

Papir pravougaonog oblika presaviti po pola, po horizontalnoj osi. Isti postupak ponoviti još najmanje jedan put. Dobijeni četvorougao raseći po dužoj stranicido polovine, a zatim dve dobijene polovine saviti tako da se sklope u novi četvorougao. Svaku od tih polovina raseći sa po tri reza tako da se srednji rez nalazi na sredini duže stranice, i to do polovine oblika. Dobijeni oblika rasklopiti i rasečene delove izvući na spolja i unutra, naizmenično.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir pravougaonog oblika treba saviti na pola po horizontalnoj ravni, zatim deo koji presavijen treba zaseći sa obe strane, rastojanja od ivice 4cm, a može biti prozvoljno. Deo koji je zasečen saviti, a onda otvoriti savijen papir i deo koji je zasečen odvojiti od glavnog papira pomoću ivica koje se savijene. Postupak se može ponoviti više puta tako što se dalje seče svaki sledeći dobijeni segment na proizvoljnim rastojanjima od spolja ka unutra.

Modul je dobijen sledećim algoritmom: papir A4 formata se presavije po dužoj ivici na pola. Potom se u razmaku od 3cm od kraćih ivica zaseče na mestu prevoja, sve do visine jednake dužini polovine kraće stranice. Odvojeni deo prevoja se izvrne ka unutra, tj. sakrije se između ivica savijenog papira. Zatim na ivici praznine koja je ostala, ponovimo proces i dobićemo dva odvojena dela koji se takođe izvrnu ka unutra. Za kraj proces ponovimo i treći put i dobijamo 4 najmanja odvojena dela koje sve, kao i do sada izvrnemo ka unutra. Ceo papir se potom otvori da bi se otkrila konačna forma modula.

Papir A4 formata presaviti na pola po vertikalnoj osi. Papir se zaseca 2cm od savijene ivice i tako se pravi traka širine 2cm i dužine 12cm. Traku zaseći na polovini u dužini od 1/2 trake, i na jednakim dužinama od polovine još dva puta zaceći u istoj dužini. Postupak se ponavlja dokle god je to moguće.

1) Papir se savija na pola 

2) Savijeni deo se sece po sredini do polovine 

3) Jedan iseceni deo se savija na unutrasnju stranu tako da stvara isti oblik kao pocetni samo 4 puta manji, za njega se ponavljaju prva 3 koraka dok se ne dodje do novog dela koji je 4 puta manji.

4) Svi stepenasto istaknuti delovi jedan po jedan prolaze kroz isti postupak.

Format fotografije je 250x250 piksela jer bi drugacije premasio maksimalnu velicinu fajla. 

Papir A3 formata, presavija se na pola i zasa se sa leve i desne strane. Središnji deo se savija i ponovo preklapa u suprotnom pravcu. Postupak se ponavlja još jednom.  Prvi i poslednji zasecamo jos 2 puta i kasnije se dobijeni kocke ispravljaju na suprotne stran.

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu:

Papir kvadratnog oblika presaviti po dijagonali i zasecati skalpelom 5 mm iznad savijene ivice na podjednakim razmacima, tako da svaki usek formira oblik trougla ivica paralelnih ivicama kvadrata.

Papir se savija na četiri jednaka uzdužna dela, na prvom i poslednjem delu savijenog papira izrežu se kvadrati iste veličine i sa jedne i druge strane, zatim se na središnjem savijenom delu papira izrežu dva manja kvadrata sa obe starne, taj deo se savija i potom se izrežu još dva kvadrata takodje sa obe strane još manjih dimenzija. (postupak se uvek ponavlja)

Kvadrat 20x20cm savijen na pola i podeljen na 10 delova. Prvi deo je zasecen na 3cm i svaki sledeci na 1cm vise. Svaki drugi je izvucen.

Prikazani fraktal nastaje po sledećem algoritmu:

A4 papir presaviti na pola. Podeliti presavijenu ivicu na jednake podeoke (po 1 cm). Početi od središnjeg podeoka zasecanjem najmanje dužine (2 cm). Redom zasecati sa obe strane međusobno jednake dužine za određenu jedinicu duže od prethodne (za 1 cm duže). Razdvojiti listove i saviti trake ka unutrašnjoj strani.

Prikazani fraktal se dobija tako što na papiru nacrtamo kvadrat u kom ćemo dalje zaseći trouglove od većih ka menjem, zatim jedan deo trouglova treba izbaciti spolja a drugi deo ostaviti unutra, i saviti papir

Sledeći fraktal je dobijen postupkom: saviti papir na pola po dužoj ivici, iseći središnji deo tako da sa obe strane ostane po četvrtina duže ivice, zaseći ga do pola paralelno sa kraćom ivicom. Zatim saviti i ponoviti isti postupak. Preostale četvrtine sa obe strane dobijenog dela takođe iseći na pola. Ovaj šablon ponoviti još dva puta , svaki put uz podelu na četvrtine i polovine. Nakon sečenja saviti ka spolja. 

Prikazani modul nastaje tako sto prvo a4 papir presavijemo na pola po manjoj osi .Na savijenoj ivici zasecaju se trakice različitih dužina. ( od vece ka manjoj).Kada se papir otvori pod 90 stepeni, svaku  isečenu trakicu presaviti na suprotnu stranu pod 90 stepeni.

Fraktal je nastao po sledecem algoritmu,

Papir sam savio na pola, pa jos jednom na pola, a onda zasecao papir na svakih 1 cm pocevsi od desne iviceod desne ivice

Prikazani modul nastaje po sledecem algoritmu:

Kvadratni papir saviti na pola i iseci na tri jednaka dela. Zatim, opet presaviti papir na pola i na kracoj duzini papira iseci dva centimetara sirene trake na sredini. Na kraju po duzoj strani papira zaseci papir na jednoj trecini pa odvojiti 2 cm i opet zaseci papir. 

Prvi korak za dobijanje ovog fraktala je saviti papir na pola. Nakon toga na prelomnoj ivici nacrtati prvougaone trake zeljenih duzina. Zaseci ih uz najduzu stranicu pravougaonih traka. Trake presaviti prema gore i nakon toga vratiti u normalan polozaj. Papir otvoriti i svaku drugu traku podici i dobice se ovaj fraktal.

Papir a4 formata presaviti na pola po vertikalnoj osi, zatim ponoviti presavijanje, potom podeliti sredisnju polovinu na 3 jednaka dela a svaku trecinu od dobijenih presaviti na pola i ponovo podeliti na 3 jednaka dela svaku trecinu. Zatim postupak ponoviti na dvema bocnim stranama papira.

Za ovaj fraktal potreban je list a4 formata. List se savija poprečno, zatim se na presavijenoj stranici zaseca za pola dužine. Nakon toga se leva strana podeljenog papira preklapa i na njoj se ponovo vrši zasecanje za polovinu njene dužine. Na samom kraju se skroz desna strana koja je bila netaknuta zaseca isto za pola dužine. Provera ispravnosti savijanja je vidi po tome što segmenti podsećaju na stepenice. 

Prikazani fraktal napravljen je savijanjem A3 papira na pola, zatim su prema nacrtanom templejtu napravljeni horizontalni i vertikalni isečci, od kojih su jedni savijani na spolja, a jedni na unutra.

Fraktal je dobijen sečenjem i savijanjem pravouglih oblika na papiru a4 formata
Dizajn je rešenje do koga sam došao posle nekoliko pokušaja kopiranja iste šeme na papiru.
Napomena: Student sam ponovac i nisam prisustvovao predavanju u amfiteatru.

Prikazani fraktal nastaje od papira kvadratnog oblika 30x30 cm, njegovim savijanjem na pola, dodavanjem margina od 4 cm i daljim deljenjem na 11 jednakih modula od 2 cm, njihovim secenjem i savijanjem.

Prikazani fraktal sam dobio presavijanjem A4 papira po horizontalnoj osi, zatim zasecanjem 4 simetricna zasecka na rastojanju od 2cm. Prvi zasecak visine 10cm, drugi visine 8cm, treci visine 6cm i cetvrti visine 4cm. Kada se papir rasiri pod uglom od 90 stepeni dobijene isecke presaviti pod uglom od 90 stepeni u suprotnu stranu.

Papir A4 formata iseći na manje delove dimenzija 5,4cm×3,6cm u zavisnosti koliko je potrebno.Manji komad papira koji smo isekli presavijemo na pola po vertikalnoj osi i još jednom da dobijemo mali kvadrat,zatim vratimo korak u nazad gde će se po sredini videti linija gde smo savili.Sa krajeva tog našeg pravougaonika vučemo ka toj središnjoj liniji da dobijemo oblik trougla gde će jedan deo papira biti malo ispod oblika trougla.Kada to uradimo sa druge strane te delove koji štrče van oblika savijemo isto sa krajnjih ivica ka trouglovima koji su već oformljeni gde ćemo dobiti male trouglove i onda tu celu stranicu koja štrči savijemo ka tim trouglovima i oblik koji dobijemo presavijemo na pola da dobijemo pravougli trougao sa otvorima unutar njega gde ćemo ubacivati ostale delove i složiti oblik koji želimo da nastane.

Prikazani fraktal se pravi tako sto papir kvadratnog oblika presavijemo na pola preko obe ose.

Potom ponovo vratimo papir u pocetni polozaj odmotavanjem papira. Savijamo strane papira po obe ose do sredine papira ( tj. do linija savijanja prvog poteza)

Ponovo odmotavanje do pocetne pozicije. 

Okrecemo papir tako da poledjina gleda ka nama. Presavijamo coskove papira do centra papira prateci linije savijanja prethodnih koraka. 

Bez odvijanja papira, okrecemo papir jos jednom, ponavljamo potez sa coskovima. 

Dobijamo oblik nalik papirnog zmaja pravilnog oblika. 

"usi" svakog kvadratnog segmenta (4) koje smo dobili presvajama primenom necega sto se zove "Squash fold" u origami svetu. 

Dobicemo umanjenu verziju prethodnog kvadrata, koji cemo centralno izvrnuti tako sto odmotavamo stranice i centar dobijenog oblika ubacujemo u sam kvadrat.

Izvrnuti kvadrati sada imaju "usi" sa spoljasnje strane koje sada uvrcemo da gledaju direktno ka gore.

Ponavljamo to za sve segmente koji su identicni jedan drugom. 

Centralnu povrs secemo skalpelom po linijama savijanja i uvrcemo paralelno ostalim fraktalima.

Ta daaaaa.

Neka vam je Bog u pomoci ako pokusate ovo da rekonstruisete bez mene o/

Prikazani modul nastaje po sledećem algoritmu: papir kvadratnog oblika saviti na pola, zasecati na trećinama savijene ivice do pola. 1/3 i 3/3 presaviti (2/3 više ne obrađujemo), savijene delove zaseći na trećinama do pola, njihove 2/3 saviti, zatim tu trećinu zaseći na trećinama do pola i 2/3 saviti.

Presavijanjem papira A4 formata na polovinu a zatim na četvrtinu i zasecanjem tako presavijenog papira po spoljašnjem rubu pravolinijski, a na preostaloj punoj površini usecanjem ugaononih linija dobijen je ovaj papirni fraktal.