Geometrija 1, tok 1o1

1. (2 п) Нека су $a, b, c$ дати вектори у простору. Доказати да су они линеарно независни ако и само ако су вектори $b \times c, c \times a, a \times b$ линеарно независни.

2. (2 п) Одредити вектор $x$ ако важи $\langle u, x\rangle = \alpha$ и $u \times x = v$, за дате векторе $u, v$ и дати реални број $\alpha$.. Дискутовати све могуће случајеве.

3. (1 п) Дат је троугао $ABC$ површине $P$. Нека су тачке $A_1,B_1,C_1$ такве да важи $\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{BA}$. Колика је површина троугла $A_1B_1C_1$?

4. (2 п) Дате су две праве пирамиде с истом основом, квадратом $ABCD$  ивице $a$. Нека су $V_1$ и $V_2$ врхови датих пирамида и угао између правих $AV_1$ и $BV_2$ једнак $\dfrac{\pi}{4}$. Ако је висина једне пирамиде једнака $a$, одредити висину друге пирамиде.