Geometrija 1, tok 1o1

1. (2 п) Доказати да се тежиште тетраедра $ABCD$ поклапа са тежиштем тетраедра $A'B'C'D'$ коме су темена $A',B',C',D'$ редом тежишта троуглова $BCD$, $ACD$, $ABD$ и $ABC$.

2. (2 п) Нека је $ABC$ троугао и тачке $P$ и $Q$ такве да је $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$ и $\overrightarrow{BQ} = 4\overrightarrow{QC}$, а тачка $R$ је пресек правих $AC$ и $PQ$. Израчунати однос $\overrightarrow{CR}:\overrightarrow{RA}$.

3. (2 п) У равни је дат троугао $ABC$. Нека тачка $D$ припада страници $AB$, а тачка $E$ страници $BC$тако да је $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{4}$ и $\frac{BE}{EC}=\frac{5}{7}$. Ако се дужи $AE$ и $CD$ секу у тачки F одредити у ком односу тачка $F$ дели дужи $AE$ и $CD$.

4. (2 п) Нека је $ABC$ троугао, $P$ и $Q$ тачке такве да је $3\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{BA}$ и $2\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BC}$. Ако је $R$ тачка праве $AC$ таква да се праве $AQ$, $CP$ и $BR$ секу у једној тачки, одредити однос $\overrightarrow{AC}:\overrightarrow{AR}$.