Geometrija 1, tok 1o1

1. (2 п) Дате су неколинеарне тачке $A$,$B$ и $O$. Тачка $C$ је таква да важи $\overrightarrow{OC} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$. Доказати да тачка $C$ припада правој $AB$ ако и само ако важи $\alpha + \beta = 1$. Уколико тачка $C$ припада правој $AB$ и важи $\alpha \geq 0$ и $\beta \geq 0$, доказати да тачка $C$ припада дужи $AB$.

2. (1 п) Нека су $A_1$ и $A_2$ две различите тачке и нека је $T$ тежиште скупа тачака $\{A_1, A_2\}$. Доказати да је $T$ средиште дужи $A_1A_2$.

3. (2 п) Нека су $A_1$, $A_2$ и $A_3$ три неколинеарне тачке и нека је $T$ тежиште скупа тачака $\{A_1, A_2, A_3\}$. Ако је $T_1$ средиште дужи $A_2A_3$, $T_2$ средиште дужи $A_1A_3$ и $T_3$ средиште дужи $A_1A_2$, доказати да $T$ припада дужима $A_1T_1, A_2T_2, A_3T_3$ и да је $A_1T:TT_1 = A_2T:TT_2 = A_3T:TT_3 = 2:1$.

4. (2 п) Нека су $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$ четири некомпланарне тачке и нека је $T$ тежиште скупа тачака $\{A_1, A_2, A_3, A_4\}$. Ако је $T_1$ тежиште троугла $A_2A_3A_4$, $T_2$ тежиште троугла $A_1A_3A_4$, $T_3$ тежиште троугла $A_1A_2A_4$ и $T_4$ тежиште троугла $A_1A_2A_3$, доказати да $T$ припада дужима $A_1T_1, A_2T_2, A_3T_3, A_4T_4$ и да је $A_1T:TT_1 = A_2T:TT_2 = A_3T:TT_3 = A_4T:TT_4 = 3:1$.